Des cinq suites qui suivent, une seule converge. Les quatre autres échouent, et elles échouent pour des raisons distinctes : l'une oscille sans s'arrêter, une autre grandit sans limite, une troisième n'est ni bornée ni régulière, une quatrième diverge alors même que ses termes consécutifs se rapprochent autant qu'on veut. Cette dernière à elle seule … Lire la suite de Exercice : cinq suites, une seule converge
Analyse
« Tend vers » : ce que disent ε et N
« La suite se rapproche de plus en plus de sa limite. » La phrase est dans tous les manuels, elle paraît inoffensive, et elle est fausse dans les deux sens : une suite peut se rapprocher indéfiniment d'un nombre sans converger vers lui, et converger vers un nombre sans jamais s'en rapprocher régulièrement. Ce … Lire la suite de « Tend vers » : ce que disent ε et N
Une suite est une application, et cela change tout
« Soit la suite un = 1/(n + 1). » La phrase ouvre des milliers d’exercices, et elle est inexacte à au moins deux titres. D’abord, un n’est pas une suite : c’est un nombre réel, celui que la suite associe à l’entier n. Ensuite, l’égalité ne définit rien tant que l’on n’a pas dit … Lire la suite de Une suite est une application, et cela change tout
Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Une suite dont les termes finissent par se resserrer converge-t-elle ? Dans ℚ, non : la suite des troncatures décimales de √2 se resserre autant qu'on veut sans jamais atteindre de limite rationnelle. Dans ℝ, oui — et cette différence est à elle seule une définition possible des nombres réels. Ce blog a déjà construit … Lire la suite de Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Les coupures de Dedekind
Dans cet article, nous allons à découverte d’une construction due au mathématicien allemand Richard Dedekind (1831 – 1916), permettant d'obtenir le corps totalement ordonné et complet des réels à partir de corps totalement ordonné, mais incomplet, des nombres rationnels. L'article est organisé en six sections. La première section est consacrée aux définitions. La deuxième section … Lire la suite de Les coupures de Dedekind
Deux traits de la droite réelle
La droite réelle est l'ensemble des nombres réels équipé de sa métrique naturelle. Dans cette note, nous révélons deux traits de cet espace métrique. Précisément, nous allons démontrer que, pour que la somme de deux parties de la droite réelle soit un ouvert, il suffit que l'une de ces parties le soit. Au demeurant, nous … Lire la suite de Deux traits de la droite réelle
Caractérisation des sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Dans cet article, notre intérêt se porte sur les sous-groupes du groupe additif des nombres réels. Un sous-groupe d’un groupe est dit monogène s'il est engendré par un unique élément. Tous les sous-groupes du groupe additif des entiers relatifs sont monogènes. Les sous-groupes du groupe du groupe additif des nombres réels sont-ils également tous monogènes … Lire la suite de Caractérisation des sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Deux parties denses de la droite réelle
Notoirement, l’ensemble des nombres rationnels est une partie dense de la droite réelle. Dans cette note, nous allons découvrir deux autres parties denses de la droite réelle qui sont elles-mêmes des parties de l’ensemble des rationnels. Il s’agit de l’ensemble multiples des inverses des puissances entières de 2 d’une part, et de l’ensemble des nombres … Lire la suite de Deux parties denses de la droite réelle
Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure
Dans cet article, nous nous penchons sur divers aspects topologiques de la droite réelle. Précisément, nous déterminons, pour certaines suites réelles, les valeurs d'adhérence, la limite inférieure et la limite supérieure. Par ailleurs, nous allons démontrer un résultat général exprimant la limite inférieure et la limite supérieure d'une suite réelle en fonction de l'ensemble de … Lire la suite de Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure
