Exercice : cinq suites, une seule converge

Des cinq suites qui suivent, une seule converge. Les quatre autres échouent, et elles échouent pour des raisons distinctes : l’une oscille sans s’arrêter, une autre grandit sans limite, une troisième n’est ni bornée ni régulière, une quatrième diverge alors même que ses termes consécutifs se rapprochent autant qu’on veut. Cette dernière à elle seule vaut le détour de cet exercice.

Le travail consiste à trouver celle qui converge, et à nommer l’obstacle pour chacune des autres. La définition employée est celle de l’article précédent de la série, consacré à ce que disent ε et N ; sa négation y est également écrite, et c’est elle qui sert ici. Le corrigé paraîtra dans trois jours.

1. Les cinq suites

Suite 1. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $a_{n}=(-1)^{n}$ .

Suite 2. Pour tout entier $n\geq 1$ , on pose

$\displaystyle b_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.$

Suite 3. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $c_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ .

Suite 4. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $d_{n}=(-1)^{n}\,n$ .

Suite 5. Pour tout entier $n\geq 2$ , on pose $e_{n}=1$ si $n$ est un nombre premier, et $e_{n}=0$ sinon.

2. Ce qui est demandé

Déterminer celle des cinq suites qui converge, et établir sa limite en revenant à la définition.
Pour chacune des quatre autres, nommer l’obstacle : oscillation entre plusieurs valeurs, absence de majorant, ou toute autre raison qu’il faudra formuler précisément.
Vérifier que la suite 2 satisfait $b_{n+1}-b_{n}\longrightarrow 0$ , puis expliquer pourquoi cette propriété n’entraîne pas la convergence.
Une seule des quatre suites divergentes est bornée sans osciller entre deux valeurs seulement. La reconnaître, et dire combien de valeurs d’adhérence elle possède.

3. Trois indications

Pour la suite 3, l’expression $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ne se majore pas commodément telle quelle. La multiplier par sa quantité conjuguée la rend transparente.

Pour la suite 2, regrouper les termes par paquets dont les indices vont de $2^{k}+1$ à $2^{k+1}$ , et minorer chaque paquet. Ce découpage est dû à Nicole Oresme, au XIV^e siècle.

Pour la suite 5, on admettra qu’il existe une infinité de nombres premiers, et aussi des intervalles d’entiers consécutifs arbitrairement longs n’en contenant aucun. Le blog a déjà donné deux démonstrations du premier point, dont une preuve topologique.

4. Pourquoi ces cinq-là

Les manuels illustrent la divergence par des suites qui tendent vers l’infini, ce qui laisse croire que diverger, c’est grandir. Les suites 1 et 5 sont bornées, et divergent pourtant. La suite 4 cumule les deux défauts. Quant à la suite 2, elle tend bien vers l’infini, mais si lentement qu’aucun calcul numérique ne le révèle : il faut plus de $10^{43}$ termes pour dépasser $100$ . Une machine conclurait à la convergence ; seule la démonstration tranche.

C’est ce dernier point qui justifie l’exercice. La question « cette suite converge-t-elle ? » ne se règle ni à l’œil, ni à la calculatrice, ni par le tracé des premiers termes. Elle se règle en revenant à la définition, ou à sa négation.

Les suites numériques, leurs limites et les critères de convergence feront l’objet du Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation. La construction du corps des réels, dont dépendent plusieurs des réponses attendues, est exposée au chapitre 3 du Volume I.

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Exercice : cinq suites, une seule converge

1. Les cinq suites

2. Ce qui est demandé

3. Trois indications

4. Pourquoi ces cinq-là

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1. Les cinq suites

2. Ce qui est demandé

3. Trois indications

4. Pourquoi ces cinq-là

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