Corrigé, et l’unicité de la limite

La suite qui converge est la troisième, celle dont le terme général est la différence des racines carrées de deux entiers consécutifs, et sa limite est nulle. Les quatre autres échouent pour quatre raisons distinctes, et c’est cette diversité qui intéresse : diverger est un terme générique pour des réalités diverses. Le corrigé se termine sur un théorème que l’on énonce partout sans le démontrer, alors qu’il tient en trois lignes.

Cet article corrige l’exercice précédent de la série Tout tient à la limite, qui proposait cinq suites. Les définitions employées sont celles de l’article consacré à ce que disent ε et N, et le terme général de chaque suite est rappelé en cours de route.

1. La suite qui converge

Multiplions $c_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ par sa quantité conjuguée. Comme $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ ne s’annule jamais, on peut écrire

$\displaystyle c_{n}=\frac{\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)\bigl(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\bigr)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.$

La différence est donc une fraction dont le dénominateur grandit sans limite. Pour majorer, remarquons que $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\geq\sqrt{n}$ , d’où $0<c_{n}\leq\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ pour tout entier $n\geq 1$ .

Revenons à la définition. Soit $\varepsilon>0$ . L’inégalité $\dfrac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon$ équivaut à $n>\dfrac{1}{\varepsilon^{2}}$ . Choisissons pour $N$ un entier strictement supérieur à $\dfrac{1}{\varepsilon^{2}}$ , ce que la propriété d’Archimède autorise. Alors $|c_{n}-0|<\varepsilon$ pour tout entier $n\geq N$ , et la suite converge vers $0$ .

Une remarque, qui n’est pas un détail : la conjuguée n’a pas servi à simplifier une écriture, elle a servi à rendre l’expression majorable. Sous sa forme initiale, $c_{n}$ est une différence de deux quantités qui tendent chacune vers l’infini, et une telle différence ne se contrôle pas.

2. Les quatre obstacles

Rappel de l’énoncé. Pour tout entier naturel $n$ , on avait posé $a_{n}=(-1)^{n}$ pour la suite 1, $c_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ pour la suite 3 et $d_{n}=(-1)^{n}\,n$ pour la suite 4. Pour tout entier $n\geq 1$ , on avait posé $b_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ pour la suite 2. Enfin, pour tout entier $n\geq 2$ , on avait posé $e_{n}=1$ lorsque $n$ est premier et $e_{n}=0$ sinon, ce qui définit la suite 5.

Suite 1 — deux valeurs d’adhérence. La démonstration figure dans l’article consacré à ce que disent ε et N : avec $\varepsilon=1$ , deux termes consécutifs seraient à distance moindre que $2$ l’un de l’autre, alors que leur écart vaut exactement $2$ . La suite est bornée, ce qui montre qu’être bornée ne suffit pas.

Suite 4 — non bornée. Toute suite convergente est bornée : à partir du rang associé à $\varepsilon=1$ , tous les termes sont dans l’intervalle $\,]\ell-1,\ell+1[\,$ , et les termes précédents sont en nombre fini. Or $|d_{n}|=n$ prend des valeurs arbitrairement grandes. La suite ne converge donc pas. Notons que cette suite ne tend pas non plus vers $+\infty$ ni vers $-\infty$ , puisqu’elle change de signe indéfiniment.

Suite 5 — bornée, deux valeurs d’adhérence, mais irrégulière. C’est la suite demandée à la quatrième question. Elle ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , et elle prend chacune une infinité de fois : la première parce qu’il existe des suites arbitrairement longues d’entiers consécutifs non premiers, la seconde parce que les nombres premiers sont en nombre infini. Elle possède donc exactement deux valeurs d’adhérence, comme la suite 1 — mais sans aucune périodicité, ce qui la rend imprévisible sans la rendre plus divergente pour autant.

Le rapprochement mérite d’être souligné : les suites 1 et 5 divergent pour exactement la même raison, alors que l’une est parfaitement régulière et l’autre parfaitement erratique. La régularité n’entre pas dans la définition.

3. La suite harmonique, ou l’échec du critère naïf

La suite 2 vérifie bien $b_{n+1}-b_{n}=\dfrac{1}{n+1}$ , quantité qui tend vers $0$ . Ses termes consécutifs se rapprochent donc autant qu’on veut. Et pourtant elle diverge.

La démonstration d’Oresme consiste à grouper les termes par paquets de longueur doublante. Pour tout entier $k\geq 0$ , le paquet des indices allant de $2^{k}+1$ à $2^{k+1}$ compte $2^{k}$ termes, chacun supérieur ou égal au dernier, qui vaut $\dfrac{1}{2^{k+1}}$ . La somme du paquet est donc minorée par

$\displaystyle 2^{k}\times\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}.$

En sommant les $m$ premiers paquets, on obtient $b_{2^{m}}\geq 1+\dfrac{m}{2}$ . La suite n’est donc pas majorée, et elle diverge. Elle croît, mais aussi lentement que le suggère cette minoration : il faut environ $2^{200}$ termes pour dépasser $100$ .

La leçon est la troisième question de l’exercice. La condition « $u_{n+1}-u_{n}$ tend vers $0$ » ne compare que des termes voisins ; la convergence, elle, exige que tous les termes au-delà d’un rang soient proches les uns des autres, si éloignés soient leurs indices. La bonne condition, qui porte sur $|u_{p}-u_{q}|$ pour tous les couples $(p,q)$ assez grands, est le critère de Cauchy — celui-là même que le blog a exposé dans Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement.

4. L’unicité de la limite

On écrit couramment « la limite », avec un article défini. L’usage est légitime, mais il repose sur un théorème que l’on omet presque toujours de démontrer.

Théorème. Une suite réelle admet au plus une limite.

Preuve. Supposons que la suite $(u_{n})$ converge à la fois vers $\ell$ et vers $\ell^{\prime}$ , avec $\ell\neq\ell^{\prime}$ . Posons

$\displaystyle \varepsilon=\frac{|\ell-\ell^{\prime}|}{2},$

quantité strictement positive puisque les deux limites diffèrent. La première convergence fournit un rang $N_{1}$ au-delà duquel $|u_{n}-\ell|<\varepsilon$ , la seconde un rang $N_{2}$ au-delà duquel $|u_{n}-\ell^{\prime}|<\varepsilon$ . Prenons un entier $n$ supérieur à ces deux rangs — c’est possible, et c’est le seul endroit où l’on se sert de ce qu’ils sont en nombre fini. L’inégalité triangulaire donne alors

$\displaystyle |\ell-\ell^{\prime}|\leq|\ell-u_{n}|+|u_{n}-\ell^{\prime}|<\varepsilon+\varepsilon=|\ell-\ell^{\prime}|,$

soit $|\ell-\ell^{\prime}|<|\ell-\ell^{\prime}|$ , ce qui est absurde. L’hypothèse $\ell\neq\ell^{\prime}$ est donc fausse. $\quad\Box$

Deux remarques sur cette démonstration, dont la brièveté cache le mécanisme.

Le choix de $\varepsilon$ est l’unique invention du raisonnement. On aurait pu prendre le tiers ou le quart de l’écart ; la moitié est le plus grand choix qui fasse aboutir la contradiction, et ce n’est pas un hasard : deux tubes de rayon $\varepsilon$ autour de $\ell$ et de $\ell^{\prime}$ ne se rencontrent que si $2\varepsilon$ dépasse leur écart. La formule traduit exactement l’image de deux tubes disjoints.

Le raisonnement par l’absurde y est employé dans sa forme la moins coûteuse, celle qui établit une négation : on suppose $\ell\neq\ell^{\prime}$ et l’on dérive une contradiction. Aucun recours à l’élimination de la double négation, donc aucun usage du tiers exclu — la distinction faite dans l’article du 17 août sur les règles de déduction s’applique ici mot pour mot.

Le prochain article de la série aborde le premier théorème qui affirme l’existence d’une limite sans donner le moyen de la calculer.

L’unicité de la limite, les suites bornées et les valeurs d’adhérence feront l’objet du Volume II du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, en préparation. La propriété d’Archimède et la construction du corps des réels, employées ici, sont exposées au chapitre 3 du Volume I.

Une réflexion sur “Corrigé, et l’unicité de la limite”

Pingback: Toute suite croissante et majorée converge — mais vers quoi ? | Formalis Mathematica

Votre commentaire Annuler la réponse.

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.