Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement

Une suite dont les termes finissent par se resserrer converge-t-elle ? Dans ℚ, non : la suite des troncatures décimales de √2 se resserre autant qu’on veut sans jamais atteindre de limite rationnelle. Dans ℝ, oui — et cette différence est à elle seule une définition possible des nombres réels.

Ce blog a déjà construit ℝ une fois, par les coupures de Dedekind. Voici la seconde voie, celle de Cantor et Méray. Elle prolonge également Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure.

1. Deux définitions qu’il ne faut pas confondre

Suite convergente. $(u_{n})$ converge vers $\ell$ lorsque, pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $N$ tel que $|u_{n}-\ell|<\varepsilon$ pour tout $n\geq N$ .

Suite de Cauchy. $(u_{n})$ est de Cauchy lorsque, pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $N$ tel que $|u_{p}-u_{q}|<\varepsilon$ pour tous $p,q\geq N$ .

La différence tient en un mot, et ce mot est $\ell$ . La première définition nomme la limite : pour l’appliquer, il faut déjà disposer du nombre vers lequel on converge. La seconde n’évoque que les termes de la suite entre eux. C’est un critère interne, vérifiable sans rien connaître au-delà de la suite elle-même.

Cette économie a un prix : une suite peut être de Cauchy sans converger, si la limite qu’elle vise n’existe pas dans l’ensemble où l’on travaille. C’est exactement ce qui arrive dans $\mathbb{Q}$ avec

$\displaystyle u_{0}=1,\quad u_{1}=1{,}4,\quad u_{2}=1{,}41,\quad u_{3}=1{,}414,\ \ldots$

Tous les termes sont rationnels et $|u_{p}-u_{q}|\leq 10^{-\min(p,q)}$ : la suite est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$ . Sa limite serait $\sqrt{2}$ , qui n’y est pas. Le sens du mot trou est ici parfaitement précis : une suite qui désigne un point absent.

La réciproque, elle, est vraie partout et sans effort : toute suite convergente est de Cauchy, par l’inégalité triangulaire $|u_{p}-u_{q}|\leq|u_{p}-\ell|+|\ell-u_{q}|$ . Un corps où l’implication vaut dans les deux sens est dit complet.

2. Boucher les trous avec les suites elles-mêmes

L’idée de Cantor et de Charles Méray, publiée indépendamment en 1869 et 1872, consiste à prendre le problème par où il se présente. Puisqu’une suite de Cauchy désigne un point manquant, décrétons que la suite est ce point.

Une difficulté immédiate : plusieurs suites désignent le même point. Les troncatures décimales de $\sqrt{2}$ et la suite de Héron $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(v_{n}+\dfrac{2}{v_{n}}\right)$ visent la même cible par deux chemins. On les identifie donc, en posant

$\displaystyle (u_{n})\sim(v_{n}) \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}(u_{n}-v_{n})=0.$

Cette relation est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites de Cauchy de rationnels, et l’on définit

$\displaystyle \mathbb{R}=\mathcal{C}/\sim,$

où $\mathcal{C}$ désigne l’ensemble des suites de Cauchy à termes rationnels. Un nombre réel est une classe de suites. Les opérations se définissent terme à terme, et l’on plonge $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ en envoyant $r$ sur la classe de la suite constante égale à $r$ .

Le point délicat est l’inverse. Si la classe de $(u_{n})$ n’est pas nulle, la suite ne tend pas vers zéro, donc — étant de Cauchy — ses termes sont minorés en valeur absolue à partir d’un certain rang. On peut alors former $\left(\dfrac{1}{u_{n}}\right)$ en modifiant les premiers termes, ce qui ne change pas la classe. C’est ce qui fait de $\mathbb{R}$ un corps.

Reste à vérifier que l’opération ne laisse pas de trous derrière elle : toute suite de Cauchy de réels converge dans $\mathbb{R}$ . La démonstration procède par extraction diagonale, chaque réel étant approché d’aussi près qu’on veut par un rationnel. Recommencer la construction sur $\mathbb{R}$ ne donnerait donc rien de nouveau — propriété qui n’a rien d’automatique et qu’il faut établir.

3. Deux chemins, un seul corps

Les coupures de Dedekind découpent $\mathbb{Q}$ en deux morceaux et appellent nombre réel le lieu de la coupure. Les suites de Cauchy approchent un point absent et appellent nombre réel la façon de l’approcher. Les deux objets construits n’ont rien de commun : d’un côté des parties de $\mathbb{Q}$ , de l’autre des classes de suites.

Théorème. Deux corps totalement ordonnés, archimédiens et complets sont isomorphes, et l’isomorphisme est unique.

Les deux constructions produisent donc le même corps, à un unique isomorphisme près. C’est ce qui autorise à parler du corps des nombres réels sans préciser de quelle construction on est parti, et à oublier ensuite les deux.

Une nuance de vocabulaire mérite d’être relevée. Dedekind obtient directement la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide majorée admet une borne supérieure. Cantor obtient la complétude au sens de Cauchy. Les deux ne sont pas équivalentes en général : la complétude de Cauchy est strictement plus faible, et il faut lui adjoindre l’axiome d’Archimède pour retrouver la borne supérieure. C’est pourquoi « archimédien » figure dans l’énoncé ci-dessus.

4. Pourquoi conserver la voie de Cauchy

Si les deux constructions aboutissent au même corps, pourquoi en enseigner deux ? Parce qu’elles ne se généralisent pas de la même façon.

La coupure exige un ordre. Elle ne dit rien dans un espace où les points ne se comparent pas — le plan, un espace de fonctions, un corps de nombres $p$ -adiques. La suite de Cauchy, elle, n’exige qu’une distance. Elle se transporte donc telle quelle à tout espace métrique, et le procédé de complétion par classes de suites y garde exactement la même forme.

De là sa fortune. Les espaces de Banach, les espaces de Hilbert, l’intégrale de Lebesgue, les nombres $p$ -adiques — tous reposent sur une complétion de Cauchy. Les $p$ -adiques sont l’exemple le plus frappant : on complète le même $\mathbb{Q}$ , avec une autre distance, et l’on obtient un corps qui n’a rien à voir avec $\mathbb{R}$ . Le procédé est donc plus général que son résultat le plus célèbre.

Il y a enfin une raison pratique, et c’est celle qui intéresse l’analyste. Le critère de Cauchy permet d’établir qu’une suite converge sans connaître sa limite. C’est ce qui fait fonctionner les critères de convergence des séries, le théorème du point fixe de Banach, et l’essentiel des théorèmes d’existence en analyse et en équations différentielles. On démontre qu’une solution existe avant de savoir la calculer — et souvent sans jamais le savoir.

La série ouverte le 12 août s’achève ici. Elle sera reprise à l’automne, avec d’autres fils.

Les constructions successives de $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ sont exposées au chapitre 3 du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire.

Une réflexion sur “Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement”

Pingback: Une suite est une application, et cela change tout | Formalis Mathematica

Laisser un commentaire Annuler la réponse.

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.