En 1899, David Hilbert publie les Grundlagen der Geometrie et refait ce qu’Euclide avait fait deux mille deux cents ans plus tôt. Le résultat est le même — la géométrie du plan et de l’espace — mais la liste des hypothèses a changé de nature : cinq postulats sont devenus vingt axiomes répartis en cinq groupes. Cet article examine ce que chaque groupe répare.

Il fait suite à Ce qui manque à la première proposition d’Euclide, et à « Un point n’a ni longueur ni épaisseur » — et alors ?, où la question des définitions avait été posée.

1. Le renversement préalable

Euclide ouvre les Éléments par vingt-trois définitions. Hilbert ouvre les Grundlagen par une phrase d’un genre tout différent : on considère trois systèmes de choses, que l’on appelle points, droites et plans. Il ne dit pas ce qu’ils sont. Il dit seulement qu’il y en a trois sortes, et que les axiomes qui suivent régissent leurs rapports.

C’est le point de bascule de toute la géométrie moderne, et il répond directement à la difficulté soulevée par « un point n’a ni longueur ni épaisseur ». Cette phrase-là prétendait définir ; elle ne servait dans aucune démonstration. Hilbert tire la conséquence : les notions premières ne se définissent pas, elles se contraignent. Un point est ce qui obéit aux axiomes concernant les points, rien de plus.

De là le mot rapporté par Otto Blumenthal, un familier de Hilbert : la théorie devrait rester valable si l’on remplaçait « point », « droite » et « plan » par « table », « chaise » et « chope de bière ». La formule fait sourire ; c’est un critère de rigueur. Si le sens intuitif des mots est nécessaire à une démonstration, c’est qu’un axiome manque.

2. Groupe I — incidence

Huit axiomes, qui régissent le seul verbe appartenir. Par deux points distincts passe une droite et une seule ; toute droite porte au moins deux points ; il existe trois points non alignés ; et les énoncés correspondants pour les plans.

Ce groupe couvre le premier postulat d’Euclide, en corrigeant une omission discrète : Euclide affirme qu’on peut joindre deux points, jamais que la droite obtenue est unique. Les axiomes d’existence — il existe trois points non alignés — sont également nouveaux, et ils sont indispensables : sans eux, le plan vide satisferait tout le reste.

3. Groupe II — ordre

Quatre axiomes régissant la relation « être entre ». C’est le groupe le plus surprenant, parce qu’il formalise ce qu’aucun texte ancien n’avait songé à écrire : qu’un point d’une droite sépare celle-ci en deux, qu’un segment a un intérieur, qu’une figure a un dedans et un dehors.

Le dernier de ces axiomes est dû à Moritz Pasch, qui l’énonce en 1882.

Axiome de Pasch. Soient , , trois points non alignés et une droite du plan ne passant par aucun d’eux. Si rencontre le segment , alors elle rencontre ou .

Autrement dit : une droite qui entre dans un triangle en ressort. L’énoncé paraît dérisoire à force d’évidence, et c’est précisément son intérêt. Euclide s’en sert constamment sans l’écrire, chaque fois qu’il dit « soit un point intérieur au triangle » ou « la droite coupe le côté opposé ». Le groupe II est la mise en axiomes de tout ce que la figure suggère sans qu’on le formule.

4. Groupe III — congruence

Cinq axiomes pour la relation de congruence, sur les segments d’abord, sur les angles ensuite : on peut reporter un segment sur une demi-droite, et d’une seule manière ; la congruence est transitive ; l’addition des segments la respecte ; et le dernier axiome donne le premier cas d’égalité des triangles, deux côtés et l’angle compris.

Ce dernier point répare une seconde lacune des Éléments, distincte de celle du point manquant. À la proposition I.4, Euclide démontre l’égalité de deux triangles en appliquant l’un sur l’autre : il déplace une figure. Or aucun postulat n’autorise le mouvement, et rien ne garantit qu’un déplacement conserve les longueurs. Hilbert tranche : ce cas d’égalité sera un axiome, et les autres s’en déduiront. Ce qu’Euclide croyait démontrer, on le pose.

Le quatrième postulat d’Euclide — tous les angles droits sont égaux — devient ici un théorème, conséquence des axiomes de congruence.

5. Groupe IV — parallèles

Un seul axiome, dans la forme donnée par Playfair : par un point extérieur à une droite passe au plus une parallèle à cette droite. C’est le célèbre cinquième postulat, dont on a cherché pendant deux mille ans à faire un théorème.

La recherche a échoué, et l’échec a été fécond : Lobatchevski et Bolyai, dans les années 1830, construisent des géométries où il est faux et qui ne sont pas contradictoires. Le remplacer, ce n’est pas se tromper : c’est changer de géométrie. L’isoler dans un groupe à lui seul rend cette liberté visible.

6. Groupe V — continuité

Deux axiomes, et c’est ici que se comble le trou de la proposition I.1.

Axiome d’Archimède. Étant donné deux segments, un multiple entier du premier dépasse le second.

Axiome de complétude. Le système des points et des droites n’admet aucune extension qui satisfasse encore tous les axiomes précédents.

Le premier interdit les grandeurs infiniment petites. Le second est d’une forme inhabituelle : il ne dit pas ce que le plan contient, il dit qu’on ne peut plus rien y ajouter. C’est un axiome de maximalité, et il exclut exactement le contre-modèle du plan rationnel : satisfait les groupes I à IV, mais on peut l’agrandir en , donc il viole le groupe V.

La parenté avec la construction de est directe. On peut d’ailleurs remplacer ces deux axiomes par un seul, l’axiome de Dedekind : toute coupure de la droite est produite par un point. La droite géométrique et la droite numérique se complètent de la même façon, parce que c’est le même problème.

7. Ce que Hilbert démontre en plus

L’essentiel des Grundlagen n’est pas la liste. Ce sont les questions que la liste permet enfin de poser, et qu’Euclide ne pouvait pas formuler.

• La cohérence. Les axiomes ne se contredisent pas, puisque les satisfait tous. La géométrie est donc cohérente si l’arithmétique des réels l’est — une cohérence relative, et Hilbert le sait.
• L’indépendance. Aucun axiome ne se déduit des autres. La démonstration est chaque fois la même : exhiber un modèle qui satisfait tous les axiomes sauf celui-là. Le plan rationnel établit ainsi l’indépendance du groupe V, et les géométries non euclidiennes celle du groupe IV.
• Le rôle exact de chaque groupe. En retirant un groupe, on obtient une géométrie plus pauvre, et l’on voit quels théorèmes tombent avec lui.

Cette dernière méthode est ce que la géométrie lègue au reste des mathématiques. Un système d’axiomes n’est plus une liste de vérités évidentes : c’est un objet que l’on étudie, dont on mesure la force, et que l’on modifie pour voir ce qui résiste. Trente ans plus tard, Gödel montrera que cette étude a elle-même ses limites — mais elle est née là.

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Les axiomes du plan et de l’espace euclidiens, groupés et commentés un à un, forment la trame de Du Point à l’Espace.