C’est l’une des premières phrases de mathématiques qu’un élève apprend par cœur : un point du plan est un lieu, un endroit qui n’a ni longueur ni épaisseur. Elle figure, à quelques mots près, dans tous les manuels de sixième. Et elle ne définit rien du tout.

Ce n’est pas une maladresse de rédacteur. C’est un problème de fond, que les mathématiciens ont mis deux mille deux cents ans à résoudre, et dont la solution a changé la nature même de la géométrie.

1. Ce que la phrase fait, et ne fait pas

Une définition doit permettre de reconnaître l’objet défini, et de le distinguer de tout autre. Or la phrase du manuel procède par soustraction : elle dit ce qu’un point n’a pas. Pas de longueur, pas d’épaisseur. Fort bien — mais le nombre 7 n’a ni longueur ni épaisseur, la couleur verte non plus, ni la justice. Aucun de ces objets n’est un point.

Reste le mot « lieu », ou « endroit ». Mais qu’est-ce qu’un lieu, sinon… un point ? La définition tourne en rond. L’élève attentif le sent, sans pouvoir le formuler ; il en conclut souvent qu’en mathématiques on ne peut pas vraiment savoir, qu’il faut se contenter de voir.

2. Euclide ne fait pas mieux

On pourrait croire à un relâchement moderne. Il n’en est rien. Les Éléments d’Euclide, vers 300 avant notre ère, s’ouvrent sur ceci :

Définition 1. Un point est ce dont il n’y a aucune partie.

Définition 2. Une ligne est une longueur sans largeur.

Même procédé, même impasse. Et le plus révélateur est ceci : dans les treize livres qui suivent, ces deux définitions ne servent jamais. Aucune démonstration d’Euclide n’invoque le fait qu’un point n’a pas de parties. Ce qui travaille réellement, ce sont les postulats — par deux points passe une droite, tout segment se prolonge, etc. Les définitions initiales sont un ornement.

3. Pourquoi c’était impossible

Définir un mot, c’est l’expliquer au moyen d’autres mots. Ceux-ci demandent à leur tour d’être définis, et ainsi de suite. Trois issues seulement : la chaîne se poursuit indéfiniment, elle boucle sur elle-même, ou elle s’arrête.

Les deux premières ne définissent rien : une régression sans fin n’explique jamais, et un cercle vicieux suppose acquis ce qu’il prétend établir. Reste la troisième. Il faut donc accepter des termes qu’on ne définit pas.

« Point », « droite » et « plan » sont de ceux-là. L’erreur du manuel n’est pas de mal définir le point : c’est de faire croire qu’on le définit.

4. La solution de Hilbert : déplacer la question

En 1899, dans les Grundlagen der Geometrie, David Hilbert renverse le problème. Il renonce à dire ce qu’est un point. À la place, il énonce ce que les points, les droites et les plans font ensemble : les relations qu’ils entretiennent, posées en axiomes.

Un point, dès lors, n’est plus une chose à décrire mais une place dans une structure. Est un point tout objet qui se comporte comme les axiomes l’exigent. Son biographe Otto Blumenthal rapporte que Hilbert résumait cette idée en disant qu’on devait pouvoir remplacer partout « points, droites, plans » par « tables, chaises, chopes de bière » sans que rien de la théorie ne change. La formule est provocante ; elle est exacte.

Ce que le manuel cherchait — une phrase qui capture l’essence du point — n’existe pas et n’a pas à exister. Ce qui existe, c’est une liste d’axiomes. Nous y reviendrons.

5. Alors, qu’est-ce qu’un point ?

La question, posée ainsi, n’a pas de réponse. Elle en a une si on la reformule : quels objets peuvent tenir le rôle de point ? Et là, on peut répondre précisément.

Le modèle que tout le monde connaît est : un point est un couple de nombres réels, une droite est l’ensemble des couples vérifiant une équation . On vérifie alors que tous les axiomes sont satisfaits. Mais ce n’est pas la définition du point — c’est un modèle parmi d’autres, et la géométrie ne parle d’aucun en particulier.

Le lecteur reconnaîtra ici la distinction exposée dans notre article sur la syntaxe et la sémantique. Les axiomes sont du côté de l’écriture ; est un monde où on les interprète. Confondre les deux, c’est exactement ce que fait le manuel de sixième.

6. Ce qu’il faudrait dire aux élèves

Non pas la construction axiomatique complète, hors de portée en sixième. Mais une phrase honnête, qui tiendrait en deux lignes : nous ne définissons pas le point. Nous en dirons seulement ce dont nous avons besoin — par deux points distincts passe une droite et une seule, et ainsi de suite. Tout le reste en découle.

Cela coûte le même nombre de mots que la fausse définition. Et cela apprend, dès la première page, ce que sont réellement les mathématiques : non pas un discours sur des choses, mais un discours sur des règles.

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Cette question ouvre Du Point à l’Espace, qui reprend la construction depuis le début : les axiomes du plan, puis la droite, la longueur, l’angle, et enfin l’espace. L’axiomatisation de la géométrie du plan est également traitée au chapitre 2 du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire.