Russell proposait cette image, et elle vaut tous les exposés. Devant une infinité de paires de chaussures, choisir une chaussure dans chaque paire ne demande aucun principe nouveau : on prend la gauche, et la règle vaut pour toutes. Devant une infinité de paires de chaussettes, la même opération devient impossible à décrire : rien ne distingue les deux chaussettes d’une paire, et il faudrait procéder à une infinité de choix indépendants. C’est exactement ce qu’affirme l’axiome du choix, et c’est exactement ce qu’aucun des huit axiomes ne permet.

Dernier article de la série Aux fondations. Il achève le recensement commencé avec les axiomes de Zermelo-Fraenkel, emploie les relations d’ordre partiel de « Corrigé, et les relations d’ordre », et reprend la difficulté repérée dans « Corrigé, et l’hypothèse du continu », où une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables exigeait une infinité de choix.

1. L’énoncé, et pourquoi il n’est pas un théorème

Axiome du choix. Soit une famille d’ensembles non vides. Il existe une application définie sur telle que pour tout . Une telle application s’appelle une fonction de choix.

Quand est fini, l’énoncé est un théorème, et sa démonstration est une récurrence : chaque étant non vide, on y prend un élément, et l’on répète un nombre fini de fois. La règle d’élimination du quantificateur existentiel autorise chacune de ces étapes, et la récurrence en autorise l’enchaînement. Le passage à l’infini est ce qui change tout : une récurrence produit un choix à chaque rang, mais elle ne produit pas l’application tout entière, qui doit exister comme objet.

Il faut ajouter une précision qui évite un contresens fréquent : l’axiome n’est pas nécessaire dès qu’il y a une infinité d’ensembles, mais seulement lorsque rien ne distingue un élément dans chacun. Une famille infinie de parties non vides de admet une fonction de choix évidente — prendre le plus petit élément — et l’on n’a besoin d’aucun axiome. C’est précisément ce qui rendait irréprochable la démonstration de la dénombrabilité de .

2. Où il se cache

L’axiome est employé bien plus souvent qu’on ne le dit, et rarement de façon visible. Quatre exemples suffisent à en donner la mesure.

• Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable. Il faut choisir une énumération par ensemble.
• Toute surjection admet une section. Si est surjective, on voudrait une application telle que : il faut choisir un antécédent pour chaque . Cet énoncé est équivalent à l’axiome du choix.
• Tout espace vectoriel admet une base. Évident en dimension finie, et indémontrable sans l’axiome en général — personne n’a jamais exhibé de base de vu comme espace vectoriel sur .
• Un produit d’ensembles non vides est non vide. C’est l’axiome lui-même, reformulé : un élément du produit est une fonction de choix.

3. Le lemme de Zorn

Sous sa forme brute, l’axiome est peu maniable. La forme employée en pratique est un énoncé sur les ordres partiels, et il faut trois définitions pour l’écrire. Soit un ensemble ordonné. Une chaîne est une partie de totalement ordonnée par ; un majorant d’une partie est un tel que pour tout ; un élément est maximal lorsque entraîne — ce qui ne signifie pas qu’il majore tout le monde, seulement que rien ne le dépasse.

Lemme de Zorn. Si un ensemble ordonné non vide est tel que toute chaîne y admet un majorant, alors il possède au moins un élément maximal.

La distinction entre maximal et maximum est ici essentielle, et l’ordre partiel de la divisibilité en donne l’image : dans l’ensemble des diviseurs de privé de , les éléments et sont tous deux maximaux, et aucun n’est un maximum. Un ensemble ordonné peut donc avoir plusieurs éléments maximaux, ou aucun ; le lemme dit à quelle condition il en a au moins un.

Trois énoncés d’apparence très différente — l’axiome du choix, le lemme de Zorn, et le théorème de Zermelo selon lequel tout ensemble peut être muni d’un bon ordre — sont équivalents dans la théorie des ensembles. La démonstration de ces équivalences dépasse le cadre de cette série, et il vaut mieux le dire que de l’esquisser ; ce qu’il faut retenir, c’est qu’employer Zorn, c’est employer le choix.

4. Une application, menée jusqu’au bout

Théorème. Tout espace vectoriel non réduit au vecteur nul admet une base.

Preuve. Soit un tel espace. Considérons l’ensemble des parties de qui sont libres, c’est-à-dire dont toute sous-famille finie est libre, et ordonnons-le par l’inclusion — un ordre partiel, comme on l’a vu. Il est non vide : pour , le singleton est libre.

Soit une chaîne de , et posons . Cette réunion est libre : une relation de dépendance ne fait intervenir qu’un nombre fini de vecteurs de , chacun appartenant à un élément de la chaîne ; ces éléments étant totalement ordonnés, l’un d’eux les contient tous, et il est libre. Donc , et c’est un majorant de . Le lemme de Zorn fournit alors une partie libre maximale .

Reste à voir que engendre . Si un vecteur n’était pas combinaison linéaire d’éléments de , alors serait encore libre et contiendrait strictement , ce qui contredirait la maximalité. Donc est libre et génératrice : c’est une base.

Le schéma est toujours le même, et il vaut d’être mémorisé : ordonner par inclusion les objets partiels acceptables, vérifier que la réunion d’une chaîne reste acceptable — ce que garantit le caractère fini des conditions —, appliquer Zorn, montrer qu’un objet maximal est complet. C’est ainsi qu’on obtient l’existence d’un idéal maximal, d’une clôture algébrique, ou d’un ultrafiltre.

5. Le prix à payer

L’axiome affirme une existence sans donner aucun moyen de désigner l’objet, et cette non-constructivité a des conséquences que l’on peut trouver désagréables. La plus instructive s’obtient avec un quotient déjà rencontré dans cette série.

Sur , la relation « est rationnel » est une relation d’équivalence — la vérification est celle, mot pour mot, qui a servi pour « est entier ». Ses classes forment une partition de l’intervalle. Choisissons un représentant dans chaque classe : l’ensemble ainsi obtenu, construit par Vitali en 1905, n’a pas de longueur. On démontre en effet que si on lui en attribuait une, elle devrait être à la fois nulle et strictement positive. Or ce choix simultané dans une infinité non dénombrable de classes est exactement l’axiome du choix : sans lui, n’existe pas.

Le paradoxe de Banach et Tarski, qui décompose une boule en un nombre fini de morceaux et les recolle en deux boules identiques à la première, relève du même mécanisme : les morceaux sont obtenus par un choix, et ils n’ont pas de volume. Ces énoncés ne sont pas des contradictions — la théorie reste cohérente —, ce sont des avertissements : ce que l’axiome fournit n’est pas toujours mesurable, ni descriptible, ni dessinable.

6. Son statut, et celui de l’ouvrage

L’axiome du choix ne figure pas parmi les huit axiomes retenus dans le Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, et rien de ce que le livre construit n’en a besoin : ni , ni , ni , ni les coupures de Dedekind. C’est une position tenable et tenue : on ne pose que ce dont on se sert. Le lecteur qui poursuivra vers l’analyse ou l’algèbre le rencontrera dès la première base d’espace vectoriel de dimension infinie.

Son statut logique est le même que celui de l’hypothèse du continu : Gödel a montré en 1938 qu’on ne peut pas le réfuter, Cohen en 1963 qu’on ne peut pas le démontrer. La différence est d’usage, non de nature — la communauté mathématique l’a adopté, et l’on écrit ZFC, tandis qu’elle n’a pas adopté l’hypothèse du continu. Un axiome n’est pas vrai : il est admis, et l’honnêteté consiste à dire quand on s’en sert.

7. Ce que douze articles auront établi

Le fil s’est ouvert sur une phrase de manuel — « un ensemble est une collection d’objets » — dont le paradoxe de Russell a montré qu’elle produit une contradiction en trois lignes. Il a fallu huit axiomes pour la remplacer, un couple pour fabriquer les fonctions, un quotient pour fabriquer les nombres, et une bijection pour comparer les infinis. Au terme du parcours, deux énoncés parfaitement clairs se sont révélés indécidables.

C’est peut-être la leçon la plus utile à rapporter en classe, et elle n’a rien de désespérant : une axiomatique ne décrit pas la réalité mathématique, elle délimite ce qu’on s’autorise à en dire. Savoir de quel droit on écrit une ligne vaut mieux que croire que toute ligne écrite est vraie.

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Les huit axiomes de Zermelo et Fraenkel, les relations d’ordre et les constructions des ensembles de nombres occupent le chapitre 3 de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. Ni l’axiome du choix ni le lemme de Zorn n’y figurent : l’ouvrage n’en a besoin nulle part, et cet article les expose pour eux-mêmes.