Les axiomes de Zermelo-Fraenkel, sans mystique

/ Christian Nguembou Tagne

Le sigle ZF traverse tous les cours du supérieur, cité comme on cite une autorité lointaine : « on se place dans ZF », « c’est indépendant de ZF ». Rares sont les étudiants qui ont vu la liste en entier, et plus rares encore ceux à qui l’on a dit ce que chaque axiome sert à fabriquer. Elle tient pourtant sur deux pages, chaque énoncé se dit en une phrase, et aucun n’exige plus que la logique du premier ordre. Les voici tous les huit, dans l’ordre où l’ouvrage les pose, avec ce que chacun permet.

L’article poursuit la série Aux fondations. Il fait suite à l’article sur le paradoxe de Russell, qui établit pourquoi une liste d’axiomes est nécessaire, et il reprend la leçon de méthode dégagée à propos des cinq groupes d’axiomes de Hilbert et des axiomes de Peano.

1. Ce qu’une liste d’axiomes est censée faire

Le système ne comporte que deux notions primitives, l’égalité et l’appartenance, et tous les « objets » y sont des ensembles. Comme chez Hilbert, les axiomes ne décrivent pas les objets : ils disent ce qu’on a le droit d’en faire. Ils se répartissent en trois groupes, et cette répartition rend la liste beaucoup plus facile à retenir qu’une énumération.

  • Un axiome dit quand deux ensembles sont égaux : ZF 1.
  • Cinq axiomes fabriquent : ils donnent un ensemble pour commencer, puis en construisent d’autres à partir de lui — ZF 2 à ZF 6.
  • Deux axiomes encadrent : ils autorisent à découper dans un ensemble, ou à le transporter, sans jamais partir d’une propriété seule — ZF 7 et ZF 8.

2. L’égalité : l’extensionalité

ZF 1 — Extensionalité. Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux.

\displaystyle \forall X\ \forall Y\ \Bigl(\forall x\ (x\in X\Leftrightarrow x\in Y)\ \Rightarrow\ X=Y\Bigr).

Un ensemble est entièrement déterminé par ce qu’il contient : ni ordre, ni répétition, ni mode de description. C’est pourquoi \{1,2\}, \{2,1\} et \{1,1,2\} sont un seul et même ensemble, et c’est aussi ce qui rend légitime de nommer un ensemble dès qu’on l’a construit : il n’y en a pas deux qui aient les mêmes éléments. Chaque fois qu’on écrit « l’ensemble des … », c’est cet axiome qui justifie l’article défini.

3. Les cinq axiomes qui fabriquent

ZF 2 — Ensemble vide. Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément ; on le note \emptyset.

ZF 3 — Paire. Pour tous ensembles X et Y, il existe un ensemble ayant pour seuls éléments X et Y, noté \{X,Y\}.

ZF 4 — Réunion. Pour tout ensemble X, il existe un ensemble \bigcup X dont les éléments sont exactement ceux appartenant à au moins un élément de X.

ZF 5 — Ensemble des parties. Pour tout ensemble X, il existe un ensemble \mathcal{P}(X) dont les éléments sont exactement les sous-ensembles de X.

Ces quatre-là rendent immédiatement des services qu’on croyait acquis. La paire appliquée à X=Y donne le singleton \{X\} — sans l’extensionalité, on n’aurait pas le droit de dire que \{X,X\} n’a qu’un élément. La réunion appliquée à \{A,B\} donne la réunion usuelle A\cup B : la notation binaire du lycée est donc un cas particulier, et non le cas général. Enfin, l’axiome des parties est le seul qui produise un ensemble strictement plus grand que celui dont on part, au sens des cardinaux — c’est lui qui fait sortir du dénombrable.

Une remarque sur ZF 2, qui n’est pas de pure forme. On pourrait croire l’ensemble vide superflu, puisque l’axiome de compréhension le fournit dès qu’un ensemble A existe, sous la forme \{x\in A\mid x\neq x\}. Mais cette construction suppose justement qu’un ensemble existe déjà, et rien, dans les axiomes précédents, n’en produit un. ZF 2 est ce qui met la théorie en mouvement : sans lui, tous les autres axiomes seraient des règles de transformation sans matière à transformer.

ZF 6 — Infini. Il existe un ensemble E tel que \emptyset\in E et tel que, pour tout x\in E, la réunion \bigcup\bigl\{x,\{x\}\bigr\} appartienne encore à E.

L’énoncé n’emploie que des axiomes déjà posés : la paire \bigl\{x,\{x\}\bigr\} vient de ZF 3, sa réunion de ZF 4, et cette réunion n’est autre que x\cup\{x\}. Cette opération est le successeur, et l’on reconnaît ici l’ossature des axiomes de Peano : un premier élément, une opération qui ne s’arrête jamais. La différence est de taille : Peano postule ℕ, tandis qu’ici on le construit, comme le plus petit ensemble vérifiant ces deux clauses.

Les premiers entiers sont alors des ensembles explicites, et il n’est pas inutile de les écrire une fois dans sa vie :

\displaystyle 0=\emptyset,\qquad 1=\{\emptyset\},\qquad 2=\bigl\{\emptyset,\{\emptyset\}\bigr\},\qquad 3=\Bigl\{\emptyset,\{\emptyset\},\bigl\{\emptyset,\{\emptyset\}\bigr\}\Bigr\}.

Chaque entier est l’ensemble de ceux qui le précèdent, si bien que n possède exactement n éléments et que la relation d’ordre est l’appartenance. Ce n’est pas une curiosité : c’est ce qui permet de définir le nombre d’éléments d’un ensemble fini sans jamais compter.

4. Les deux axiomes qui encadrent

ZF 7 — Compréhension. Pour tout ensemble A et chaque assertion p contenant exactement une variable libre, il existe un ensemble contenant exactement les éléments de A pour lesquels p(x) est vraie ; il est noté \{x\in A\mid p(x)\}.

ZF 8 — Remplacement. Pour tout ensemble A et toute correspondance f ayant A pour départ, il existe un ensemble dont les éléments sont les images des éléments de A par f ; il est noté f(A).

La compréhension est la version prudente du principe qui avait ruiné la théorie naïve : on ne crée plus un ensemble à partir d’une propriété, on découpe à l’intérieur d’un ensemble déjà obtenu. Elle rend l’intersection, la différence et le produit cartésien, qui n’ont donc pas besoin d’axiomes propres. Elle est aussi l’axiome le plus souvent invoqué dans la suite de l’ouvrage : c’est lui qui autorise, à chaque fois, à écrire « l’ensemble des éléments de A tels que ».

Le remplacement — dû à Fraenkel, c’est le F du sigle — est le plus puissant de la liste, et son énoncé est le seul à emprunter une notion extérieure au chapitre : celle de correspondance, définie dès le chapitre de logique comme une relation qui associe à chaque objet de départ un et un seul objet d’arrivée. Il dit qu’on peut transporter un ensemble par une telle correspondance sans sortir du monde des ensembles : l’image d’un ensemble est un ensemble. L’élève de terminale ne le rencontrera jamais ; l’étudiant qui construit \mathbb{R}, si.

On notera l’ordre dans lequel les notions s’appellent : la correspondance est définie avant les ensembles, au niveau des collections, précisément pour pouvoir servir ici sans cercle vicieux. C’est un choix d’architecture, et il est délibéré.

5. Ce que la liste ne contient pas

Deux énoncés célèbres n’y figurent pas, et leur absence est aussi instructive que la présence des huit autres.

L’axiome de fondation, qui interdit à un ensemble de s’appartenir et, plus généralement, les chaînes d’appartenance descendantes infinies. Certaines présentations l’ajoutent à la liste ; celle-ci ne le fait pas, et rien de ce qui suit n’en a besoin. C’est la règle générale d’une axiomatique bien tenue : on ne pose que ce dont on se sert.

L’axiome du choix, qui affirme que d’une famille d’ensembles non vides on peut extraire simultanément un élément dans chacun. On écrit alors ZFC, le C valant pour choice. Sa mise à l’écart n’est pas une précaution de style : il est indépendant des autres, au sens exact où le postulat des parallèles est indépendant des autres axiomes d’Euclide — Gödel a montré en 1938 qu’on ne peut pas le réfuter, Cohen en 1963 qu’on ne peut pas le démontrer. Il est de plus le seul à affirmer l’existence d’un objet sans donner le moyen de le désigner, ce qui explique la méfiance qu’il a longtemps inspirée. « L’axiome du choix et le lemme de Zorn », à paraître le 29 septembre, lui sera consacré.

6. Ce que la liste ne dit pas

  • Rien n’est dit de ce qu’est un ensemble. Exactement comme Hilbert ne dit pas ce qu’est un point. On décrit un usage, pas une nature.
  • Rien ne garantit la cohérence de la liste. Le second problème de Hilbert demandait cette garantie ; le second théorème de Gödel montre qu’elle ne peut pas venir de la théorie elle-même. On travaille dans ZF sans preuve de non-contradiction, et l’on sait qu’on ne peut pas faire mieux.
  • La liste ne décide pas tout. Certains énoncés parfaitement clairs y sont indécidables, l’hypothèse du continu étant le plus célèbre.

7. Le seul axiome qu’un élève utilise sans le savoir

Le lycée ne parle jamais de ZF, et il a raison. Il applique pourtant la compréhension à chaque exercice : « résoudre dans \mathbb{R} », c’est découper dans un ensemble déjà donné. Il applique l’axiome des parties chaque fois qu’il traite un « intervalle de \mathbb{R} » comme un objet, et l’extensionalité chaque fois qu’il écrit « l’ensemble des solutions est \{1,2\} » — l’article défini n’a de sens que parce qu’il n’y en a qu’un.

Il reste à franchir un pas dont dépend tout le reste de l’édifice. Avec la paire, on fabrique le couple (a,b)=\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\} ; avec les parties et la compréhension, le produit cartésien ; avec le produit cartésien, les relations, puis les fonctions et les applications. Autrement dit, la notion de fonction n’est pas un point de départ : elle se construit, et elle se construit à partir de ces huit lignes. C’est l’objet du prochain article de la série.

Les huit axiomes sont énoncés à la section 3.1 de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I, sous le titre Les axiomes de Zermelo et Fraenkel ; la sous-section suivante en tire les opérations sur les ensembles, et la notion de correspondance qu’emploie ZF 8 est définie au chapitre 2, dans la section consacrée aux langages formels.