Image directe, image réciproque : l’asymétrie que personne n’explique

On écrit couramment l’ensemble des solutions d’une équation comme l’ensemble des antécédents de zéro, et on emploie pour cela le symbole « f puissance moins un ». Le même symbole désigne pourtant aussi la bijection réciproque — qui n’existe que si la fonction est bijective, ce que celle de l’équation n’est presque jamais. Deux objets, une notation. Ils ne se ressemblent pas, ils n’obéissent pas aux mêmes règles, et l’un des deux se comporte nettement mieux que l’autre.

L’article poursuit la série Aux fondations. Il suppose acquises les définitions posées dans Fonction, application, correspondance — une relation binaire est un ensemble de couples, une application associe à chaque élément de départ exactement une image — et il emploie l’axiome de compréhension recensé dans Les axiomes de Zermelo-Fraenkel.

1. Trois objets, deux notations

Soit $f:X\rightarrow Y$ une application. Trois objets différents circulent sous des écritures voisines, et il vaut la peine de les séparer une fois pour toutes.

$f(x)$ , l’image d’un élément : un élément de $Y$ .
$f(A)$ , l’image directe d’une partie $A\subseteq X$ : une partie de $Y$ .
$f^{-1}(B)$ , l’image réciproque d’une partie $B\subseteq Y$ : une partie de $X$ .

Le troisième est celui qui pose problème, parce que le symbole $f^{-1}$ désigne aussi l’application inverse d’une bijection. Ce sont deux notions distinctes, et la première ne suppose rien. L’image réciproque d’une partie est définie pour n’importe quelle application, injective ou non, surjective ou non ; l’application inverse n’existe que pour une bijection. Quand la bijection existe, les deux lectures coïncident, et c’est ce qui a permis à l’ambiguïté de s’installer : $f^{-1}(B)$ désigne alors aussi bien l’image directe de $B$ par l’application inverse que l’image réciproque de $B$ par $f$ , et ces deux ensembles sont égaux.

La conséquence pratique est immédiate, et elle vaut d’être dite à un élève : écrire $f^{-1}(\{0\})$ pour désigner l’ensemble des solutions de $f(x)=0$ est parfaitement correct, même si $f$ n’est pas inversible. Ce n’est pas un abus de notation ; c’est un autre objet.

2. Les deux définitions et leur existence

Définitions. Soient $f:X\rightarrow Y$ une application, $A\subseteq X$ et $B\subseteq Y$ .

$\displaystyle f(A)=\bigl\{y\in Y\ \bigm|\ (\exists x\in A)\ y=f(x)\bigr\}$ ,

$f^{-1}(B)=\bigl\{x\in X\ \bigm|\ f(x)\in B\bigr\}.$

Les deux écritures découpent dans un ensemble déjà donné, $Y$ pour la première, $X$ pour la seconde : ce sont donc des ensembles par l’axiome de compréhension, et non par une commodité de notation. Le cas $A=X$ redonne l’ensemble des images $f(X)$ , seul cas que l’ouvrage nomme explicitement, et par lequel il caractérise la surjectivité : $f$ est surjective si et seulement si $f(X)=Y$ .

Une remarque de lecture, qui décide de tout ce qui suit. La condition qui définit $f^{-1}(B)$ porte sur un seul élément à la fois : $x$ y est testé isolément. Celle qui définit $f(A)$ commence par un quantificateur existentiel : pour savoir si $y$ appartient à $f(A)$ , il faut chercher un antécédent dans $A$ , et rien ne dit qu’il soit unique.

3. Le tableau de l’asymétrie

f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B') — L’image réciproque respecte tout ; l’image directe ne respecte que la réunion et l’inclusion.

f(A\cup A')=f(A)\cup f(A') — L’image réciproque respecte tout ; l’image directe ne respecte que la réunion et l’inclusion.

Opération	Image réciproque	Image directe
Réunion	$f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$	$f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')$
Intersection	$f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')$	seulement $f(A\cap A')\subseteq f(A)\cap f(A')$
Complémentaire	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$	aucune relation générale
Inclusion	$B\subseteq B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')$	$A\subseteq A'\Rightarrow f(A)\subseteq f(A')$

4. Les démonstrations et le contre-exemple

L’image réciproque et l’intersection. Pour tout $x\in X$ , la chaîne suivante n’est faite que d’équivalences :

$\displaystyle x\in f^{-1}(B\cap B')\ \Leftrightarrow\ f(x)\in B\cap B'\ \Leftrightarrow\ f(x)\in B\ \wedge\ f(x)\in B'\ \Leftrightarrow\ x\in f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B').$

Le même calcul, avec $\vee$ au lieu de $\wedge$ , donne la réunion ; avec $\neg$ , le complémentaire. Trois démonstrations en une ligne chacune, et toujours la même : on remplace l’appartenance par sa définition, on lit le connecteur, on revient en arrière. $\quad\Box$

L’image directe et la réunion. Soit $y\in f(A\cup A')$ . Il existe $x\in A\cup A'$ tel que $y=f(x)$ ; ce $x$ est dans $A$ ou dans $A'$ , donc $y$ est dans $f(A)$ ou dans $f(A')$ . Réciproquement, si $y\in f(A)$ , un antécédent de $y$ dans $A$ est aussi un antécédent dans $A\cup A'$ ; de même pour $A'$ . $\quad\Box$

L’image directe et l’intersection : une seule inclusion. Si $y\in f(A\cap A')$ , un antécédent de $y$ situé dans $A\cap A'$ est à la fois dans $A$ et dans $A'$ , donc $y\in f(A)\cap f(A')$ . L’inclusion inverse est fausse, et le contre-exemple tient en trois symboles : prenons $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , $x\mapsto x^{2}$ , avec $A=\{-1\}$ et $A'=\{1\}$ . Alors $A\cap A'=\emptyset$ , donc $f(A\cap A')=\emptyset$ , tandis que $f(A)=f(A')=\{1\}$ et $f(A)\cap f(A')=\{1\}$ .

Le même exemple ruine le complémentaire : $f(\mathbb{R}\setminus\{-1\})$ contient $1$ , qui appartient aussi à $f(\{-1\})$ , si bien que l’image du complémentaire n’est ni le complémentaire de l’image, ni disjointe de lui.

5. La raison profonde et son caractère logique

On présente souvent ce déséquilibre comme une curiosité à mémoriser. C’en est le contraire : c’est une conséquence directe du comportement des quantificateurs, établi bien avant qu’on parle d’ensembles. Les opérations $\cup$ , $\cap$ et le passage au complémentaire ne sont rien d’autre que les connecteurs $\vee$ , $\wedge$ et $\neg$ appliqués aux conditions d’appartenance — c’est la lecture que donne l’article sur la syntaxe et la sémantique.

Or l’appartenance à une image réciproque s’écrit sans quantificateur : $x\in f^{-1}(B)$ signifie $f(x)\in B$ , une condition portant sur un objet unique. Rien ne s’oppose donc à ce qu’elle traverse les connecteurs. L’appartenance à une image directe, elle, s’écrit avec un $\exists$ , et la logique du premier ordre dit exactement ce qu’on peut en attendre :

$\displaystyle \exists x\,(P\vee Q)\ \Leftrightarrow\ (\exists x\,P)\vee(\exists x\,Q)$ ,

$\displaystyle \exists x\,(P\wedge Q)\ \Rightarrow\ (\exists x\,P)\wedge(\exists x\,Q).$

La première équivalence est vraie, la seconde implication n’est qu’une implication — le témoin qui satisfait $P$ et celui qui satisfait $Q$ n’ont aucune raison d’être le même. L’asymétrie des images n’est que cette asymétrie-là, transportée. Le contre-exemple de $x\mapsto x^{2}$ en est l’illustration exacte : $1$ a un antécédent dans $A$ et un antécédent dans $A'$ , mais ce ne sont pas les mêmes.

6. Quand l’égalité revient

Proposition. Soit $f:X\rightarrow Y$ une application. Alors, pour toutes parties $A\subseteq X$ et $B\subseteq Y$ :

$\displaystyle A\subseteq f^{-1}\bigl(f(A)\bigr)\qquad\text{et}\qquad f\bigl(f^{-1}(B)\bigr)\subseteq B.$

La première inclusion est une égalité pour toute partie $A$ si et seulement si $f$ est injective ; la seconde l’est pour toute partie $B$ si et seulement si $f$ est surjective.

Preuve des inclusions. Si $x\in A$ , alors $f(x)\in f(A)$ par définition, donc $x\in f^{-1}(f(A))$ . Si $y\in f(f^{-1}(B))$ , il existe $x\in f^{-1}(B)$ tel que $y=f(x)$ ; or $f(x)\in B$ , donc $y\in B$ .

Preuve des réciproques. Supposons $f$ injective et soit $x\in f^{-1}(f(A))$ : alors $f(x)\in f(A)$ , donc il existe $a\in A$ avec $f(x)=f(a)$ , d’où $x=a\in A$ par injectivité. Si $f$ n’est pas injective, deux éléments distincts $a\neq b$ ont même image, et $A=\{a\}$ fournit $b\in f^{-1}(f(A))\setminus A$ . Supposons ensuite $f$ surjective et soit $y\in B$ : un antécédent $x$ de $y$ vérifie $f(x)=y\in B$ , donc $x\in f^{-1}(B)$ et $y\in f(f^{-1}(B))$ . Si $f$ n’est pas surjective, un $y$ sans antécédent donne $B=\{y\}$ avec $f(f^{-1}(B))=\emptyset$ . $\quad\Box$

De la même manière, l’injectivité rétablit l’égalité pour l’intersection : si $f$ est injective, $f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')$ , puisque les deux antécédents dont on disposait sont alors forcément confondus. Toutes les défaillances de l’image directe se réparent par l’injectivité, et c’est logique : elle est exactement ce qui rend le témoin unique.

7. Ce que cela commande ailleurs

Cette asymétrie n’est pas une remarque d’école : elle explique une convention que l’étudiant rencontrera sans qu’on la lui justifie. En topologie, la continuité se définit par l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert — jamais par l’image directe, qui ne respecterait pas les opérations nécessaires. En théorie de la mesure, une fonction est mesurable lorsque l’image réciproque de tout ensemble mesurable l’est. Le choix est toujours le même, et il tient à ce qui vient d’être démontré : l’image réciproque commute avec toute la théorie des ensembles, l’image directe non.

Le prochain article du fil, « Relations d’équivalence et passage au quotient », revient aux relations binaires pour construire les ensembles quotients — ceux-là mêmes dont on se sert pour fabriquer $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ .

Les applications, leur ensemble des images $f(X)$ , l’injectivité, la surjectivité et l’application inverse d’une bijection occupent la section 3.2 de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. L’image directe d’une partie quelconque et l’image réciproque n’y sont pas nommées : elles sont construites ici dans le sillage des notions citées ci-dessus.

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Image directe, image réciproque : l’asymétrie que personne n’explique

1. Trois objets, deux notations

2. Les deux définitions et leur existence

3. Le tableau de l’asymétrie

4. Les démonstrations et le contre-exemple

5. La raison profonde et son caractère logique

6. Quand l’égalité revient

7. Ce que cela commande ailleurs

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1. Trois objets, deux notations

2. Les deux définitions et leur existence

3. Le tableau de l’asymétrie

4. Les démonstrations et le contre-exemple

5. La raison profonde et son caractère logique

6. Quand l’égalité revient

7. Ce que cela commande ailleurs

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