« Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant une propriété donnée. » Cette phrase ouvre presque tous les cours, du collège à la licence, et elle a le mérite de ne heurter personne. Elle a aussi un défaut : elle ne sert dans aucune démonstration. Aucune propriété ne s'en déduit, aucun théorème ne s'y appuie. … Lire la suite de Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
Aux fondations
Série en cours : langages formels, règles de déduction, construction des ensembles de nombres.
Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Une suite dont les termes finissent par se resserrer converge-t-elle ? Dans ℚ, non : la suite des troncatures décimales de √2 se resserre autant qu'on veut sans jamais atteindre de limite rationnelle. Dans ℝ, oui — et cette différence est à elle seule une définition possible des nombres réels. Ce blog a déjà construit … Lire la suite de Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Le raisonnement par récurrence est enseigné comme une technique : on vérifie l'initialisation, on suppose l'hérédité, on conclut. Présenté ainsi, il ressemble à une astuce de rédaction, et l'élève qui demande pourquoi ça marche reçoit rarement autre chose qu'une métaphore de dominos. La réponse honnête est plus courte et plus troublante : ça marche parce … Lire la suite de Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Quatre des cinq raisonnements qui suivent sont fautifs. Aucun ne l'est par erreur de calcul : dans chacun, les hypothèses sont vraies et la conclusion est parfois vraie aussi. Ce qui pèche, c'est le passage de l'une à l'autre — l'usage d'une règle de déduction qui n'existe pas, ou d'une règle qui existe mais dont … Lire la suite de Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Le mot le plus employé dans une copie de mathématiques est probablement « donc ». C'est aussi celui qu'on n'explique jamais. On corrige les calculs, on sanctionne les erreurs de signe, mais on laisse dans l'ombre la question centrale : à quelle condition a-t-on le droit d'écrire « donc » ? La logique du premier ordre répond avec une … Lire la suite de Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
Une formule mathématique est une suite de signes. Elle ne devient vraie ou fausse qu'une fois placée dans un monde qui donne un sens à ces signes. Cette distinction entre ce qui relève de l'écriture et ce qui relève du sens — entre la syntaxe et la sémantique — n'est presque jamais énoncée dans l'enseignement … Lire la suite de Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
