La réponse habituelle est un haussement d’épaules : parce que le monde est ainsi fait. C’est une réponse de physicien, et elle ne dit rien du problème mathématique. Dans une géométrie construite sur des axiomes, le nombre trois n’est pas observé : il est déduit, et deux axiomes précis en répondent — l’un interdit de descendre plus bas, l’autre interdit de monter plus haut.

L’article ouvre le dernier mouvement de la série Du point à l’espace. Il revient aux axiomes d’association énumérés dans les cinq groupes d’axiomes de Hilbert et dans le premier article de la série.

1. Compter quoi, au juste ?

Avant de compter, il faut dire ce qu’on compte. La définition rigoureuse de la dimension relève de la théorie des espaces vectoriels ; Du Point à l’Espace en donne une version élémentaire, qui suffit ici et qui a le mérite de ne rien emprunter à l’algèbre.

Définition. Soit un singleton, une droite, un plan, ou l’ensemble de tous les points de l’espace. Sa dimension est

où est le nombre minimum de points nécessaires pour décrire .

Le retranchement d’une unité n’est pas un artifice. Le premier point ne coûte aucune liberté : il fixe une origine, et l’on peut le choisir où l’on veut. Ce sont les points suivants qui apportent chacun une direction nouvelle. Compter les points et retrancher un, c’est compter les directions.

2. Le compte, ligne par ligne

Chaque ligne du tableau ci-dessous est un théorème, et chacune repose sur un axiome nommé.

Entité	Points minimaux	Axiome invoqué	Dimension
Un point	1 — lui-même	aucun	0
Une droite	2 points distincts	I.1 et I.2	1
Un plan	3 points non alignés	I.3 et I.4	2
L’espace entier	4 points, dont trois non alignés et le quatrième hors de leur plan	I.7, et la bijection du repère	3

La dernière ligne demande un mot. Que quatre points suffisent, c’est la proposition établie dans l’annexe A : un repère cartésien — trois points non alignés, plus un quatrième hors de leur plan — permet de reconstituer tout entier, l’application des coordonnées étant une bijection sur . Que trois ne suffisent pas, c’est immédiat : trois points quelconques donnent un plan s’ils ne sont pas alignés, une droite sinon — jamais l’espace.

3. L’axiome qui interdit de descendre

Axiome I.7. Dans tout plan, il y a au moins trois points non alignés ; et, dans l’espace, il existe au moins quatre points non coplanaires.

C’est un axiome d’existence, et il est le seul du premier groupe à affirmer que quelque chose existe. Tous les autres sont conditionnels : si deux points sont distincts, alors une droite… ; si trois points ne sont pas alignés, alors un plan… Sans I.7, rien n’interdirait que l’espace soit vide, ou réduit à un plan : toutes les implications resteraient vraies faute d’hypothèse à satisfaire. La seconde moitié de I.7 est donc exactement ce qui écrit « la dimension est au moins 3 ».

Sa première moitié fait le même travail un étage plus bas : sans elle, un plan pourrait être une droite déguisée.

4. L’axiome qui interdit de monter

Voilà la moitié de la réponse. Mais qu’est-ce qui empêche une cinquième direction ? Aucun axiome ne dit « il n’existe pas cinq points indépendants ». Le plafond est posé ailleurs, et de façon beaucoup moins visible.

Axiome I.6. Lorsque deux plans ont un point en commun, ils en ont au moins un second.

Cet axiome paraît innocent : il sert, dans toute la série, à garantir que deux plans sécants se coupent selon une droite et non selon un point. C’est pourtant lui qui ferme la porte à la quatrième dimension, et le contre-exemple est facile à écrire.

Plaçons-nous dans et considérons les deux ensembles

Ce sont bien deux plans : chacun est décrit par deux paramètres libres, chacun contient trois points non alignés. Leur intersection se calcule en une ligne : il faut et , donc elle est réduite à l’origine, et à elle seule. Deux plans ayant exactement un point commun : l’axiome I.6 est faux dans .

Le résultat est donc net. I.7 empêche l’espace d’avoir moins de trois dimensions ; I.6 l’empêche d’en avoir plus. Le nombre trois n’apparaît nulle part dans les axiomes ; il est la seule valeur qui satisfasse les deux contraintes à la fois.

5. Ce que cela change à la question

La géométrie de n’a rien d’incohérent — elle est même parfaitement ordinaire, et l’on y travaille tous les jours. Elle n’est simplement pas la géométrie d’Euclide, parce qu’elle ne vérifie pas I.6. Les mathématiques ne découvrent donc pas que l’espace a trois dimensions : elles choisissent une liste d’axiomes, et vérifient ensuite que le seul modèle compatible en a trois.

Reste la question du physicien, qui est distincte et légitime : le monde où nous vivons se laisse-t-il décrire par ce modèle-là ? À l’échelle humaine, oui, et remarquablement bien. À d’autres échelles, la réponse appartient à la physique, non à la géométrie — et l’histoire des géométries non euclidiennes, rappelée au début de cette série, montre que le modèle et le monde ne se confondent jamais tout à fait.

Un dernier mot sur la portée de la définition employée ici. Elle ne vaut que pour les points, droites, plans et l’espace entier ; elle ne dit rien de la dimension d’une sphère ou d’une courbe. L’ouvrage la présente d’ailleurs comme une esquisse, et donne le mot de la fin : la dimension d’un ensemble de points est le nombre minimum de coordonnées nécessaires à son expression. Encore faut-il disposer de coordonnées — c’est-à-dire d’un repère, et donc d’une distance. Les deux derniers articles de la série s’y consacrent : d’où vient le nombre AB, puis le repère est un théorème.

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La définition de la dimension et le tableau des entités de base occupent la section 4 de l’annexe A de Du Point à l’Espace ; les axiomes d’association, le chapitre 2. Le contre-exemple dans n’y figure pas : il est proposé ici pour montrer où le plafond est posé.