« On munit l'espace d'un repère orthonormé. » C'est sans doute la phrase la plus utilisée de toute la géométrie analytique, et elle passe trois choses sous silence : qu'il faut une distance pour graduer un axe, que la droite graduée est un théorème, et que l'orthonormalité est presque toujours une hypothèse inutile. Cet article … Lire la suite de Le repère est un théorème, pas un décor
Géométrie de l’espace euclidien
D’où vient le nombre AB ?
Il est coutume d'écrire qu'un segment mesure par exemple cinq centimètres. D'où sort le nombre cinq ? La réponse « de la règle graduée » n'est pas vraiment satisfaisante, car elle suppose déjà acquis ce qu'il faudrait construire. Or, dans la liste des axiomes de Hilbert, il n'y a pas un seul nombre. Il y … Lire la suite de D’où vient le nombre AB ?
Pourquoi l’espace a-t-il exactement trois dimensions ?
La réponse habituelle est un haussement d'épaules : parce que le monde est ainsi fait. C'est une réponse de physicien, et elle ne dit rien du problème mathématique. Dans une géométrie construite sur des axiomes, le nombre trois n'est pas observé : il est déduit, et deux axiomes précis en répondent — l'un interdit de … Lire la suite de Pourquoi l’espace a-t-il exactement trois dimensions ?
Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Le mot traîne dans l'enseignement depuis vingt-trois siècles sans avoir jamais été défini. Euclide s'en sert pour démontrer un cas d'égalité des triangles ; Hilbert, deux mille deux cents ans plus tard, refuse cette démonstration et pose à la place un axiome. Entre les deux, il y a tout ce que l'article veut expliciter : … Lire la suite de Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Le théorème des trois perpendiculaires
C'est l'outil qui permet de calculer une distance dans l'espace sans poser un seul repère, et c'est aussi celui qui justifie l'apothème d'une pyramide, objet que le collège manipule sans jamais dire de quel droit. Son énoncé tient en une ligne, sa démonstration en trois, et il repose entièrement sur la distinction posée dans l'article … Lire la suite de Le théorème des trois perpendiculaires
Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Dans le plan, les deux mots sont interchangeables, et l'enseignement s'en accommode depuis toujours. Dans l'espace, ils cessent de désigner la même chose, et l'un des deux n'apparaît même pas dans l'ouvrage dont cette série est tirée. Ce n'est pas un oubli : la définition axiomatique de la perpendicularité contient une condition que l'autre notion … Lire la suite de Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Trois expressions circulent, données comme équivalentes : le produit des longueurs par le cosinus de l'angle, la somme des produits des coordonnées, et le produit d'une longueur par la mesure algébrique d'un projeté. Aucune des trois n'est présentée comme la définition, et chacune sert à démontrer les deux autres. Il y a là un cercle, … Lire la suite de Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
« Un vecteur est un segment orienté. » La phrase ouvre le chapitre dans presque tous les manuels, et elle est fausse dès la page suivante — celle où l'on écrit que deux segments orientés différents peuvent être le même vecteur. Deux constructions correctes existent pour réparer cela. Elles ne se ressemblent pas, elles ne … Lire la suite de Vecteurs de l’espace : la définition scolaire et ce qu’elle cache
Trois parallélismes, et non un seul
Le même mot désigne trois relations : entre deux droites, entre une droite et un plan, entre deux plans. L'usage scolaire les traite comme une seule notion déclinée trois fois, et c'est là que naissent la plupart des raisonnements faux du chapitre. Deux de ces trois relations possèdent une propriété d'unicité ; la troisième n'en … Lire la suite de Trois parallélismes, et non un seul
Corrigé, et le théorème du toit
Huit configurations, et une seule qui ne porte pas de nom. Le corrigé établit d'abord la liste et montre qu'elle est complète ; il répond ensuite à la question qui fait mal, celle du parallélisme qu'on ne peut pas définir par l'absence de point commun. Il se termine sur le théorème que la conjecture annonçait, … Lire la suite de Corrigé, et le théorème du toit
