Au milieu d’une démonstration, une copie porte cette ligne : « f cont. sur [a, b] ⇒ ∃ c f(c) = 0 ». La ligne est inventée, mais tout correcteur en a lu de semblables. Elle a l’air rigoureuse, avec sa flèche et son quantificateur. Lisez-la comme une phrase française : il lui manque un verbe, et « cont. » n’est pas un mot. Lisez-la comme une formule : « cont. » et « sur » n’appartiennent à aucun alphabet formel, et rien n’y dit où chercher c. Elle n’est écrite dans aucune langue. Elle est de surcroît fausse, et c’est sa forme qui empêchait de le voir.

Cet article ouvre la série Écrire les mathématiques. Elle suit la section Rédaction des textes mathématiques : langage formel versus langage courant, qui clôt le chapitre Logique mathématique de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. La notion de formule bien formée a été présentée dans « Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire », paru le 13 août, et le théorème qui sert d’exemple plus bas dans « Corrigé, et le théorème des valeurs intermédiaires ». Le prochain article de la série, « Une démonstration se lit à voix haute », paraît le 7 novembre.

1. Une ligne écrite dans aucune langue

Le premier conseil de la section tient en une phrase : respecter toutes les règles de la langue française. Appliquons-le à la ligne de l’accroche, recopiée ici en caractères mathématiques.

Une phrase française a un sujet et un verbe conjugué. Le seul candidat au rôle de sujet est ici la lettre , et aucun verbe ne la suit : « cont. » est une abréviation que l’élève s’est fabriquée, et la flèche n’est pas un mot de la langue. On devine « la fonction est continue », « alors », « il existe ». Mais deviner, c’est précisément le travail que la phrase aurait dû épargner au lecteur.

2. La syntaxe a son mot à dire

L’autre lecture échoue aussi, et pour des raisons qui se vérifient. Le chapitre Logique mathématique ne laisse pas la notion de formule dans le vague. Il fixe un alphabet : des signes délimiteurs, les symboles d’égalité et d’appartenance, les connecteurs, les quantificateurs, les variables, et selon la théorie des symboles de constante, de relation et de correspondance. Il donne ensuite des règles qui disent quelles suites de symboles sont des termes, c’est-à-dire des noms d’objets, et lesquelles sont des expressions, encore appelées formules. La règle qui gouverne les quantificateurs est celle-ci.

Si et sont des variables et une expression, alors et sont des expressions.

Confrontons-y la ligne. Les signes « cont. » et « sur » ne sont ni des variables, ni des constantes, ni des symboles de relation : ce qui précède la flèche n’est donc pas une expression. Ce qui la suit écrit sans dire dans quel ensemble on cherche le nombre , alors que la règle exige ce renseignement. Quant à la flèche, une autre règle ne l’autorise qu’entre deux expressions, le tout placé entre parenthèses. Aucune condition n’est remplie.

Ce verdict ne demande aucune interprétation. L’article sur la syntaxe et la sémantique le soulignait : décider si une suite de symboles est une formule bien formée est une opération mécanique, qui ne suppose de comprendre absolument rien. Ici, la réponse est non, et elle tombe avant qu’on se soit demandé ce que l’élève voulait dire.

3. Que cachait cette ligne ?

L’élève voulait dire le théorème des valeurs intermédiaires, sous la forme qui sert à localiser une racine. Écrit en français, ce théorème demande une hypothèse que la ligne a perdue.

Si la fonction est continue sur l’intervalle , et si le produit est négatif ou nul, alors il existe un réel de l’intervalle tel que .

Sans la condition sur le produit, l’énoncé est faux. Le contre-exemple tient en une ligne : la fonction constante égale à sur l’intervalle est continue et ne s’annule nulle part. La copie ne disait pas non plus que le nombre doit être pris dans . Deux renseignements manquaient donc, une hypothèse et la précision de la conclusion, et l’abondance des symboles donnait l’impression du contraire. Une phrase complète aurait obligé à les écrire : on ne peut pas formuler « il existe un réel de l’intervalle… » sans nommer l’intervalle.

Qui tient aux symboles peut les garder, à condition de les mettre à leur place. Voici le même énoncé, partagé entre les deux langues. Soit une fonction continue sur l’intervalle . On a alors

La phrase française introduit l’objet et pose l’hypothèse de continuité. La formule énonce la loi, et elle respecte les règles citées plus haut : une expression avant la flèche, une expression quantifiée après, un ensemble nommé derrière le quantificateur, des parenthèses autour du tout. Chacune des deux langues suit sa grammaire, et aucune n’empiète sur l’autre.

4. Deux grammaires sous un même toit

C’est exactement la tâche que la section assigne à quiconque écrit des mathématiques. Elle commence par rappeler que tout texte destiné à transmettre une information doit viser une communication claire et efficace, puis elle ajoute la difficulté propre à notre discipline.

Il doit en effet, tout en aspirant à une communication claire et efficace, faire cohabiter la langue de communication (en l’occurrence ici le français) et les langages formels mathématiques dans le respect des règles de l’une et des autres.

Le choix de l’emplacement n’est pas indifférent. Au début du même chapitre, l’ouvrage attribue à la logique deux fonctions : fournir un langage pour définir les objets et formuler les lois, et fournir des règles de déduction. Il en conclut que la logique est la partie des mathématiques qui « régit la rédaction des textes et encadre le raisonnement ». La rédaction y relève donc de la logique, au même titre que la démonstration. Ce n’est pas une affaire de goût.

Un texte mathématique bien écrit respecte ainsi deux grammaires à la fois. Chaque phrase est une phrase française, avec son sujet et son verbe. Chaque formule qu’elle contient, prise isolément, est un terme ou une expression bien formés. La formule devient alors un groupe de mots parmi d’autres, qui tient un rôle dans la phrase. La copie de l’accroche, elle, ne respectait aucune des deux grammaires. Une mauvaise cohabitation, dit la section, « peut notamment nuire à la clarté ou entraîner la confusion » ; nous venons de voir qu’elle peut aussi masquer une erreur.

La section ne prétend pas épuiser la question. Elle le dit elle-même, et elle propose seize conseils comme autant de pistes. Deux d’entre eux portent sur la phrase française seule, avant même qu’un symbole y entre.

5. Couper la phrase

Le troisième conseil part d’un constat : une phrase complexe, au sens grammatical, coûte au lecteur beaucoup plus d’efforts. D’où la recommandation de rédiger des phrases courtes et claires, et la méthode qui l’accompagne.

Ainsi, chaque fois que la formulation d’une réflexion complexe pose des problèmes, essayer avec deux ou plusieurs phrases.

Voici, construite pour l’occasion, une démonstration écrite d’un seul souffle. Elle établit que la somme de deux entiers impairs et est paire.

« Comme est impair, il s’écrit où est un entier, et comme , qui est lui aussi impair, s’écrit avec entier, la somme , qui vaut , ce qui se factorise en , est paire puisque est un entier. »

Tout y est juste, et le lecteur doit pourtant attendre la fin pour savoir de quoi parle la phrase. Son sujet, « la somme », arrive à mi-parcours ; son verbe principal, « est paire », vient après deux relatives emboîtées ; le calcul, qui est le cœur de l’argument, est relégué dans l’une d’elles. En voici une version en trois phrases.

« Les entiers et sont impairs : il existe donc des entiers et tels que et . En additionnant, on obtient . Le nombre est un entier, si bien que est pair. »

Une phrase traduit l’hypothèse, une phrase calcule, une phrase conclut. Le calcul, enfoui tout à l’heure dans une incise, dispose maintenant d’une phrase entière, et il s’écrit d’une seule chaîne d’égalités.

6. Là où la variété devient un piège

Le quatrième conseil demande de varier la structure des phrases et le choix des mots, pour éviter la monotonie. La version en trois phrases le fait déjà : elle ne répète pas « donc » à chaque pas, mais emploie tour à tour « donc », « en additionnant » et « si bien que ». Une démonstration où chaque ligne commence par « donc » se lit comme une liste, et le lecteur ne distingue plus les pas importants des pas de routine.

La variété a toutefois une limite, que la section trace elle-même dans ses derniers conseils. Elle propose neuf manières d’exprimer que la dérivabilité d’une fonction entraîne sa continuité. Elle précise aussi que « c’est-à-dire » exprime une équivalence, au même titre que « si et seulement si ». On ne varie donc qu’entre des mots qui disent la même chose. La phrase « le nombre est divisible par , c’est-à-dire pair » est fausse, alors que « le nombre est divisible par , donc pair » est juste : le nombre est pair sans être divisible par . Changer de mot pour éviter une répétition peut changer l’énoncé.

Reste à savoir, devant une phrase qui mêle les deux langues, si elles y cohabitent bien. Il existe pour cela un test d’une grande simplicité : lire la phrase à voix haute, symboles compris, et écouter si c’est encore du français. C’est le sujet de l’article du 7 novembre, « Une démonstration se lit à voix haute ».

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Cet article suit la section Rédaction des textes mathématiques : langage formel versus langage courant, au chapitre Logique mathématique de Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, Volume I. L’ouvrage reparaîtra en décembre 2026 sous le titre Discours formel sur les mathématiques : une passerelle entre le secondaire et le supérieur, avec son Volume II, chacun accompagné d’un fascicule de corrigés des exercices.