La présente note est dédiée à l'étude d'un aspect des fonctions rationnelles dont le numérateur est un polynôme à coefficients entiers, du premier ou du second degré, et le dénominateur un polynôme unitaire du premier degré à coefficients entiers. Précisément, nous allons mettre sur pied une méthode pour déterminer les nombres entiers dont les images … Lire la suite de Condition d’appartenance de certaines fractions à l’ensemble des entiers
Algèbre
Deux définitions alternatives de la notion de groupe
Notoirement, un magma est un groupe s'il est associatif, unifère et si chacun de ses éléments possède un inverse. Dans cette note, nous présentons deux alternatives à cette définition de la notion de groupe. Tout d'abord, nous montrons que, pour qu’un magma soit un groupe, il suffit qu'il soit associatif, unifère à gauche et que chacun … Lire la suite de Deux définitions alternatives de la notion de groupe
Magmas unifères, actions déduites à gauche et idempotence
Dans cette note, nous présentons une condition suffisante pour que deux lois de composition internes sur un même ensemble, ayant chacune un élément neutre, soient idempotentes. Cette condition est la distributivité mutuelle des actions à gauches déduites de ces lois. Précisément, étant donné deux lois de sur un même ensemble, ayant chacune un élément neutre, … Lire la suite de Magmas unifères, actions déduites à gauche et idempotence
Les coupures de Dedekind
Dans cet article, nous allons à découverte d’une construction due au mathématicien allemand Richard Dedekind (1831 – 1916), permettant d'obtenir le corps totalement ordonné et complet des réels à partir de corps totalement ordonné, mais incomplet, des nombres rationnels. L'article est organisé en six sections. La première section est consacrée aux définitions. La deuxième section … Lire la suite de Les coupures de Dedekind
Un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel de polynômes
Notoirement, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n est un espace vectoriel de dimension n+1. Dans cette note, nous étudions un endomorphisme de cet espace vectoriel. Précisément, nous allons déterminer ses valeurs propres, puis en déduire que l'endomorphisme en question est diagonalisable. À cet effet, au lieu de se … Lire la suite de Un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel de polynômes
La structure des semi-groupes à gauche
Un semi-groupe à gauche est un ensemble, muni d'une loi associative, telle que tout élément soit simplifiable à gauche. L'objectif principal de cet article, divisé en deux sections, est l'étude de la structure des semi-groupes à gauche. Cette étude est réalisée dans la seconde section de l'article. Au préalable, dans la première section, nous examinons … Lire la suite de La structure des semi-groupes à gauche
Un exercice sur la structure des semi-groupes à gauche
Un semi-groupe à gauche est un ensemble muni d'une loi de composition associative telle que tout élément soit simplifiable à gauche. Nous proposons ici un exercice qui invite à une étude structurelle des semi-groupes à gauche. L'exercice, divisé en deux parties, est en fait une compilation reformulée d'exercices du volume d'Algèbre des Éléments de Mathématiques … Lire la suite de Un exercice sur la structure des semi-groupes à gauche
Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
L'objectif ultime de cet article, divisé en deux sections, est de démontrer un théorème introduit en 1922 par le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski. Cet objectif sera réalisé dans la deuxième section de l'article, après que le sous-bassement algébrique de notre argumentation ait été exposé dans la première section. Le théorème d'adhérence-complémentaire de Kuratowski affirme que, partant … Lire la suite de Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
D'après le théorème de Lagrange, si G est un groupe fini d'ordre n, alors l'ordre de tout élément de G est un diviseur de n. Est-ce qu'en général, pour tout diviseur p de n, le groupe fini G admet un élément d'ordre p ? Pour les diviseurs premiers, Augustin Louis Cauchy répondit à cette question … Lire la suite de Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
Un exercice inspiré du théorème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
En topologie générale, le problème d'adhérence-complémentaire se formule de la manière suivante : Partant d'une partie donnée A d'un espace topologique et comptant A lui-même, combien d'ensembles peuvent-ils être construits en appliquant successivement le complémentaire et l'adhérence ? Le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski a répondu à cette question dans un article publié en 1922. Il a … Lire la suite de Un exercice inspiré du théorème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
