Dans cet article, notre intérêt se porte sur les sous-groupes du groupe additif des nombres réels. Un sous-groupe d’un groupe est dit monogène s'il est engendré par un unique élément. Tous les sous-groupes du groupe additif des entiers relatifs sont monogènes. Les sous-groupes du groupe du groupe additif des nombres réels sont-ils également tous monogènes … Lire la suite de Caractérisation des sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Algèbre
Théorie des magmas 5 : Lois non partout définies
Le présent article est le cinquième d'une série de leçons sur la théorie de magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d'associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. … Lire la suite de Théorie des magmas 5 : Lois non partout définies
Théorie des magmas 4 : Théorèmes d’isomorphisme
Cet article est le quatrième d'une série de leçons sur la théorie des magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d’associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. La troisième leçon était … Lire la suite de Théorie des magmas 4 : Théorèmes d’isomorphisme
Théorie des magmas 3 : Lois et magmas quotients
Cet article est le troisième d'une série de leçons sur la théorie des magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d’associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. La troisième leçon présente est … Lire la suite de Théorie des magmas 3 : Lois et magmas quotients
Théorie des magmas 2 : Théorème de commutativité
Cet article est le deuxième d’une série de leçons sur la théorie des magmas. À la suite de la première leçon dédiée aux définitions préliminaires, aux composés de séquences, aux puissances n-ièmes et au théorème d’associativité, cette deuxième leçon est consacrée au théorème de commutativité, à ses corollaires et conséquences. Nous y démontrons le théorème … Lire la suite de Théorie des magmas 2 : Théorème de commutativité
Théorie des magmas 1 : Composé d’une séquence d’éléments et théorème d’associativité
Cet article est le premier d’une série de leçons sur la théorie des magmas. Dans cette leçon introductive, nous présentons les premières définitions de la théorie, ainsi que des exemples de magmas. Nous étudierons également la composition des séquences d’éléments dans les magmas. Dans le cas des magmas associatifs, l’évaluation du composé d’une séquence d’éléments … Lire la suite de Théorie des magmas 1 : Composé d’une séquence d’éléments et théorème d’associativité
Automorphismes intérieurs d’un groupe
Dans cet article, nous introduisons la notion d'automorphisme intérieur d'un groupe. Un automorphisme intérieur est un morphisme bijectif d’un groupe dans lui-même défini par un élément spécifique dudit groupe. Nous verrons par la suite que, dans le cas du groupe des bijections d'un ensemble E sur lui-même, tout automorphisme intérieur admet un prolongement sur le … Lire la suite de Automorphismes intérieurs d’un groupe
Anneau des applications d’un ensemble non vide dans le corps des réels
L’ensemble des nombres réels, muni de l’addition et de la multiplication, est un corps commutatif. L’ensemble des applications d’un ensemble quelconque dans l’ensemble des réels est équipé d’une addition et d’une multiplication canoniques, déduites respectivement de celles du corps des réels. Un anneau commutatif est ainsi défini. Cette construction permet de d’établir que les suites … Lire la suite de Anneau des applications d’un ensemble non vide dans le corps des réels
P.G.C.D. de deux polynômes dans divers anneaux
Dans cet article, nous considérons deux polynômes, dont les coefficients peuvent être vus comme étant des rationnels, des entiers modulo 3, ou de entiers relatifs. Nous allons alors déterminer leur plus grand commun diviseur respectivement dans les anneaux des polynômes à coefficients rationnels, entiers modulo 3, ou entiers. Nous verrons notamment que deux polynômes que … Lire la suite de P.G.C.D. de deux polynômes dans divers anneaux
Les centres de deux magmas connus
Un élément d’un magma est dit central s’il commute avec tout élément dudit magma. Par exemple, si un élément est neutre, alors il est forcément central. L’ensemble des éléments centraux d’un magma est appelé son centre. Fondamentalement, une relation binaire sur un ensemble E est une partie du produit cartésien de E par lui-même. Une … Lire la suite de Les centres de deux magmas connus
