Cet article est le deuxième d’une série de leçons sur la théorie des magmas. À la suite de la première leçon dédiée aux définitions préliminaires, aux composés de séquences, aux puissances n-ièmes et au théorème d’associativité, cette deuxième leçon est consacrée au théorème de commutativité, à ses corollaires et conséquences. Nous y démontrons le théorème … Lire la suite de Théorie des magmas 2 : Théorème de commutativité
Algèbre
Théorie des magmas 1 : Composé d’une séquence d’éléments et théorème d’associativité
Cet article est le premier d’une série de leçons sur la théorie des magmas. Dans cette leçon introductive, nous présentons les premières définitions de la théorie, ainsi que des exemples de magmas. Nous étudierons également la composition des séquences d’éléments dans les magmas. Dans le cas des magmas associatifs, l’évaluation du composé d’une séquence d’éléments … Lire la suite de Théorie des magmas 1 : Composé d’une séquence d’éléments et théorème d’associativité
Automorphismes intérieurs d’un groupe
Dans cet article, nous introduisons la notion d'automorphisme intérieur d'un groupe. Un automorphisme intérieur est un morphisme bijectif d’un groupe dans lui-même défini par un élément spécifique dudit groupe. Nous verrons par la suite que, dans le cas du groupe des bijections d'un ensemble E sur lui-même, tout automorphisme intérieur admet un prolongement sur le … Lire la suite de Automorphismes intérieurs d’un groupe
Anneau des applications d’un ensemble non vide dans le corps des réels
L’ensemble des nombres réels, muni de l’addition et de la multiplication, est un corps commutatif. L’ensemble des applications d’un ensemble quelconque dans l’ensemble des réels est équipé d’une addition et d’une multiplication canoniques, déduites respectivement de celles du corps des réels. Un anneau commutatif est ainsi défini. Cette construction permet de d’établir que les suites … Lire la suite de Anneau des applications d’un ensemble non vide dans le corps des réels
P.G.C.D. de deux polynômes dans divers anneaux
Dans cet article, nous considérons deux polynômes, dont les coefficients peuvent être vus comme étant des rationnels, des entiers modulo 3, ou de entiers relatifs. Nous allons alors déterminer leur plus grand commun diviseur respectivement dans les anneaux des polynômes à coefficients rationnels, entiers modulo 3, ou entiers. Nous verrons notamment que deux polynômes que … Lire la suite de P.G.C.D. de deux polynômes dans divers anneaux
Les centres de deux magmas connus
Un élément d’un magma est dit central s’il commute avec tout élément dudit magma. Par exemple, si un élément est neutre, alors il est forcément central. L’ensemble des éléments centraux d’un magma est appelé son centre. Fondamentalement, une relation binaire sur un ensemble E est une partie du produit cartésien de E par lui-même. Une … Lire la suite de Les centres de deux magmas connus
Demi-treillis versus magmas associatifs et commutatifs de loi idempotente
Un demi-treillis est un ensemble partiellement ordonné tel que toute paire d'éléments de cet ensemble admette une borne supérieure. Une loi de composition interne est dite idempotente si tout élément de l’ensemble sous-jacent est égal à son carré. Dans cet article, nous allons montrer que tout demi-treillis peut être regardé comme étant un magma dont … Lire la suite de Demi-treillis versus magmas associatifs et commutatifs de loi idempotente
Six réflexions autour de la notion d’associativité
Dans cet article décliné en six sections, nous proposons six réflexions indépendantes autour de la notion d’associativité. Dans la première section, nous présentons un sous-magma associatif d’un magma quelconque. La deuxième section révèle diverses parties stables pour une loi de composition associative. La troisième section montre comment construire une nouvelle loi associative à partir d’une … Lire la suite de Six réflexions autour de la notion d’associativité
Paires d’entiers naturels distincts et permutables pour l’exponentiation
Pour une loi de composition interne, deux éléments de l’ensemble sous-jacent sont dits permutables si le composé du premier par le second est égal au composé du second par le premier. En particulier, chaque élément est permutable avec lui-même. Une loi de composition est dite commutative si deux éléments quelconques de l’ensemble sous-jacent sont permutables. … Lire la suite de Paires d’entiers naturels distincts et permutables pour l’exponentiation
Triplets d’entiers naturels opérables pour l’exponentiation
Pour une loi de composition interne, un triplet d’éléments de l’ensemble sous-jacent est dit opérable si les deux composés suivants sont égaux : le composé de la séquence constituée du composé des deux premières composantes du triplet d’une part, et de la troisième composante d’autre part ; le composé formé de la première composante d’une … Lire la suite de Triplets d’entiers naturels opérables pour l’exponentiation
Formalis Mathematica 