Ouvrez n’importe quel manuel de sixième à la page de géométrie. Vous y lirez, à peu de mots près : un point du plan est un lieu, un endroit qui n’a ni longueur ni épaisseur. Des millions d’élèves ont appris cette phrase. Elle ne définit rien. Elle énumère ce qu’un point n’a pas, et laisse entière la question de ce qu’il est. Un élève attentif le sent, sans pouvoir le formuler ; il en conclut souvent que les mathématiques sont une affaire d’intuition où l’on ne peut pas vraiment savoir.

Ce blog part de cette gêne, et de la conviction qu’elle se soigne.

Un recul, et ce qu’il coûte

L’intérêt pour les mathématiques et les besoins qu’en ont les technologies évoluent aujourd’hui en sens inverse. Les filières exigeant de hautes aptitudes mathématiques sont en sous-effectif chronique, tandis que la discipline suscite chez un nombre croissant d’apprenants de l’appréhension, parfois de l’angoisse.

On aimait rappeler que le fronton de l’Académie de Platon portait l’inscription « Nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». La formule dit bien ce qu’elle veut dire : la maîtrise des mathématiques était le préalable de toute autre science. Rendons-lui toutefois sa juste valeur, puisque c’est ici l’exactitude que nous défendons : cette inscription n’apparaît nulle part chez Platon, et n’est attestée que par des commentateurs de l’Antiquité tardive, près de mille ans après lui. Elle dit donc moins ce que pensait Platon que ce que l’Antiquité finissante croyait qu’il avait pensé. Le témoignage reste parlant, à condition de savoir de quoi il témoigne.

Ce que nous défendons

Nous soutenons que ce recul tient pour une large part à une idéologie : celle qui fait de l’application pratique l’alpha et l’oméga de la science. Sous sa pression, le formalisme mathématique a cédé du terrain à l’intuition. On enseigne des recettes qui marchent, en économisant les définitions qui les fondent.

L’économie est coûteuse. Un élève à qui l’on n’a jamais dit ce qu’est un point, une droite ou une longueur ne peut pas démontrer : il peut seulement imiter. Et lorsque l’imitation échoue, il ne dispose d’aucun recours, puisqu’il n’a pas les objets sur lesquels raisonner. L’angoisse devant les mathématiques n’est pas un trait de caractère, c’est le symptôme d’un sol qui manque.

Le formalisme n’est pas l’ennemi de l’intuition, et nous ne proposons pas de l’évincer. L’intuition trouve les énoncés ; le formalisme décide s’ils sont vrais. C’est une division du travail, non une rivalité. Ce que nous demandons, c’est que la seconde moitié cesse d’être passée sous silence.

Ce que vous trouverez ici

Le blog est organisé en trois rubriques, selon le public et la langue.

• Secondaire — arithmétique, géométrie, logique élémentaire, épreuves d’examen. Pour les élèves de terminale et leurs enseignants.
• Supérieur — algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, fondements. Pour les étudiants et les curieux.
• In English — general topology and set theory, for readers who prefer English.

Beaucoup d’articles vont par paires : un énoncé d’exercice d’abord, sa solution quelques jours plus tard. Le temps de chercher soi-même fait partie de la méthode.

Par où commencer

• Quel jour sommes-nous ? — comment retrouver le jour de la semaine d’une date quelconque. Les congruences à l’œuvre, sans appareil.
• Les coupures de Dedekind — comment on construit les nombres réels à partir des rationnels, et pourquoi il fallait le faire.
• The Kuratowski Closure-Complement Problem — pourquoi quatorze, et pas quinze.

Qui écrit

Christian Valéry Nguembou Tagne, enseignant de mathématiques et auteur de huit ouvrages destinés aux élèves et aux enseignants du secondaire : un traité de fondements, un ouvrage de géométrie axiomatique, quatre recueils d’annales et deux manuels d’arithmétique. Ils sont tous présentés sur la page Livres, avec extraits, sommaires et errata.

Les questions posées en ouverture de cet article — qu’est-ce que le formalisme mathématique, et comment se met-il en action ? — sont traitées au long dans Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, et appliquées à la géométrie dans Du Point à l’Espace, qui reprend précisément la définition du point par laquelle nous avons commencé.

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