Dans cette note, nous démontrons qu'en dimension finie, le spectre de la composée d'un second endomorphisme après un premier endomorphisme est égal au spectre de la composée du premier après le second. Dans notre argumentation, nous allons mettre à contribution trois résultats que nous nous donnons la peine de démontrer ici à titre pédagogique. Le … Lire la suite de Le spectre de la composée de deux endomorphismes
Niveau supérieur
Articles de niveau universitaire rédigés en français : algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, logique et fondements.
Le théorème de Cantor-Bernstein
Dans cet article, nous proposons une démonstration du théorème de Cantor-Bernstein. Ce dernier affirme que, s’il existe une application injective d’un ensemble E dans F, ainsi qu’une application injective de F dans E, alors il existe une application bijective de E sur F. La démonstration proposée ici a pour trame de fond un exercice que … Lire la suite de Le théorème de Cantor-Bernstein
Deux traits de la droite réelle
La droite réelle est l'ensemble des nombres réels équipé de sa métrique naturelle. Dans cette note, nous révélons deux traits de cet espace métrique. Précisément, nous allons démontrer que, pour que la somme de deux parties de la droite réelle soit un ouvert, il suffit que l'une de ces parties le soit. Au demeurant, nous … Lire la suite de Deux traits de la droite réelle
La propriété universelle des produits d’espaces vectoriels et ses corollaires
Cette note présente la propriété universelle des produits d'espaces vectoriels et ses principaux corollaires. Elle s'articule autour de l'exercice 1 de l'ouvrage Algèbre linéaire et algèbre tensorielle par Chambadal et Ovaert. La propriété universelle traitée ici a son pendant pour les sommes directes d’espaces vectoriels (voir l’article précédent). Ce qui n’est pas surprenant, dans la … Lire la suite de La propriété universelle des produits d’espaces vectoriels et ses corollaires
La propriété universelle des sommes directes d’espaces vectoriels et ses corollaires
La présente note est dédiée à l'étude de la propriété universelle des sommes directes d'espaces vectoriels et de ses corollaires. L'approche adoptée ici est celle de Chambadal et Ovaert dans leur ouvrage Algèbre linéaire et algèbre tensorielle. Nous rappelons qu'une structure d'espace vectoriel est définie sur le produit cartésien de toute famille d’espaces vectoriels sur … Lire la suite de La propriété universelle des sommes directes d’espaces vectoriels et ses corollaires
Un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel de polynômes
Notoirement, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n est un espace vectoriel de dimension n+1. Dans cette note, nous étudions un endomorphisme de cet espace vectoriel. Précisément, nous allons déterminer ses valeurs propres, puis en déduire que l'endomorphisme en question est diagonalisable. À cet effet, au lieu de se … Lire la suite de Un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel de polynômes
La structure des semi-groupes à gauche
Un semi-groupe à gauche est un ensemble, muni d'une loi associative, telle que tout élément soit simplifiable à gauche. L'objectif principal de cet article, divisé en deux sections, est l'étude de la structure des semi-groupes à gauche. Cette étude est réalisée dans la seconde section de l'article. Au préalable, dans la première section, nous examinons … Lire la suite de La structure des semi-groupes à gauche
Un exercice sur la structure des semi-groupes à gauche
Un semi-groupe à gauche est un ensemble muni d'une loi de composition associative telle que tout élément soit simplifiable à gauche. Nous proposons ici un exercice qui invite à une étude structurelle des semi-groupes à gauche. L'exercice, divisé en deux parties, est en fait une compilation reformulée d'exercices du volume d'Algèbre des Éléments de Mathématiques … Lire la suite de Un exercice sur la structure des semi-groupes à gauche
Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
L'objectif ultime de cet article, divisé en deux sections, est de démontrer un théorème introduit en 1922 par le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski. Cet objectif sera réalisé dans la deuxième section de l'article, après que le sous-bassement algébrique de notre argumentation ait été exposé dans la première section. Le théorème d'adhérence-complémentaire de Kuratowski affirme que, partant … Lire la suite de Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
D'après le théorème de Lagrange, si G est un groupe fini d'ordre n, alors l'ordre de tout élément de G est un diviseur de n. Est-ce qu'en général, pour tout diviseur p de n, le groupe fini G admet un élément d'ordre p ? Pour les diviseurs premiers, Augustin Louis Cauchy répondit à cette question … Lire la suite de Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
Formalis Mathematica 