« On munit l'espace d'un repère orthonormé. » C'est sans doute la phrase la plus utilisée de toute la géométrie analytique, et elle passe trois choses sous silence : qu'il faut une distance pour graduer un axe, que la droite graduée est un théorème, et que l'orthonormalité est presque toujours une hypothèse inutile. Cet article … Lire la suite de Le repère est un théorème, pas un décor
Niveau supérieur
Articles de niveau universitaire rédigés en français : algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, logique et fondements.
D’où vient le nombre AB ?
Il est coutume d'écrire qu'un segment mesure par exemple cinq centimètres. D'où sort le nombre cinq ? La réponse « de la règle graduée » n'est pas vraiment satisfaisante, car elle suppose déjà acquis ce qu'il faudrait construire. Or, dans la liste des axiomes de Hilbert, il n'y a pas un seul nombre. Il y … Lire la suite de D’où vient le nombre AB ?
L’axiome du choix et le lemme de Zorn
Russell proposait cette image, et elle vaut tous les exposés. Devant une infinité de paires de chaussures, choisir une chaussure dans chaque paire ne demande aucun principe nouveau : on prend la gauche, et la règle vaut pour toutes. Devant une infinité de paires de chaussettes, la même opération devient impossible à décrire : rien … Lire la suite de L’axiome du choix et le lemme de Zorn
Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Le mot traîne dans l'enseignement depuis vingt-trois siècles sans avoir jamais été défini. Euclide s'en sert pour démontrer un cas d'égalité des triangles ; Hilbert, deux mille deux cents ans plus tard, refuse cette démonstration et pose à la place un axiome. Entre les deux, il y a tout ce que l'article veut expliciter : … Lire la suite de Isométries de l’espace : ce que « superposable » veut dire
Corrigé, et l’hypothèse du continu
Sept des dix ensembles proposés sont dénombrables, trois ne le sont pas, et l'intuition se trompe précisément là où on l'attend : les polynômes entiers et les nombres algébriques, qui semblent innombrables, s'énumèrent sans peine ; les suites de zéros et de uns, qui semblent modestes, ne s'énumèrent pas. Le corrigé traite les dix cas, … Lire la suite de Corrigé, et l’hypothèse du continu
Le théorème des trois perpendiculaires
C'est l'outil qui permet de calculer une distance dans l'espace sans poser un seul repère, et c'est aussi celui qui justifie l'apothème d'une pyramide, objet que le collège manipule sans jamais dire de quel droit. Son énoncé tient en une ligne, sa démonstration en trois, et il repose entièrement sur la distinction posée dans l'article … Lire la suite de Le théorème des trois perpendiculaires
Exercice : dénombrable ou non ?
Deux techniques, et deux seulement, ont été mises en place : construire une énumération pour prouver qu'un ensemble est dénombrable, et construire un objet manquant pour prouver qu'il ne l'est pas. Les dix ensembles qui suivent se répartissent entre les deux camps, et l'intérêt de l'exercice tient à ce que l'intuition se trompe au moins … Lire la suite de Exercice : dénombrable ou non ?
Perpendiculaire n’est pas orthogonal
Dans le plan, les deux mots sont interchangeables, et l'enseignement s'en accommode depuis toujours. Dans l'espace, ils cessent de désigner la même chose, et l'un des deux n'apparaît même pas dans l'ouvrage dont cette série est tirée. Ce n'est pas un oubli : la définition axiomatique de la perpendicularité contient une condition que l'autre notion … Lire la suite de Perpendiculaire n’est pas orthogonal
L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
On a su énumérer les rationnels, qui sont pourtant partout denses sur la droite : entre deux d'entre eux il y en a toujours un troisième, et cela ne les a pas empêchés de tenir dans une suite. L'expérience suggère qu'avec assez d'astuce, on énumérerait aussi les réels. Cantor a montré en 1874 qu'il n'en … Lire la suite de L’argument diagonal : ℝ n’est pas dénombrable
Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
Trois expressions circulent, données comme équivalentes : le produit des longueurs par le cosinus de l'angle, la somme des produits des coordonnées, et le produit d'une longueur par la mesure algébrique d'un projeté. Aucune des trois n'est présentée comme la définition, et chacune sert à démontrer les deux autres. Il y a là un cercle, … Lire la suite de Le produit scalaire : d’où vient la formule ?
