On écrit couramment l'ensemble des solutions d'une équation comme l'ensemble des antécédents de zéro, et on emploie pour cela le symbole « f puissance moins un ». Le même symbole désigne pourtant aussi la bijection réciproque — qui n'existe que si la fonction est bijective, ce que celle de l'équation n'est presque jamais. Deux objets, … Lire la suite de Image directe, image réciproque : l’asymétrie qui mérite d’être expliquée
Niveau supérieur
Articles de niveau universitaire rédigés en français : algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, logique et fondements.
Fonction, application, correspondance : trois mots, une notion
Un manuel de seconde définit une fonction comme un procédé qui, à un nombre, en associe un autre. Un manuel de terminale parle d'application sans avoir jamais dit en quoi elle diffère d'une fonction. Un cours de licence emploie les deux mots comme des synonymes, et un autre les oppose. L'élève n'y voit pas une … Lire la suite de Fonction, application, correspondance : trois mots, une notion
Les axiomes de Zermelo-Fraenkel, sans mystique
Le sigle ZF traverse tous les cours du supérieur, cité comme on cite une autorité lointaine : « on se place dans ZF », « c'est indépendant de ZF ». Rares sont les étudiants qui ont vu la liste en entier, et plus rares encore ceux à qui l'on a dit ce que chaque axiome … Lire la suite de Les axiomes de Zermelo-Fraenkel, sans mystique
Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
« Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant une propriété donnée. » Cette phrase ouvre presque tous les cours, du collège à la licence, et elle a le mérite de ne heurter personne. Elle a aussi un défaut : elle ne sert dans aucune démonstration. Aucune propriété ne s'en déduit, aucun théorème ne s'y appuie. … Lire la suite de Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Une suite dont les termes finissent par se resserrer converge-t-elle ? Dans ℚ, non : la suite des troncatures décimales de √2 se resserre autant qu'on veut sans jamais atteindre de limite rationnelle. Dans ℝ, oui — et cette différence est à elle seule une définition possible des nombres réels. Ce blog a déjà construit … Lire la suite de Suites de Cauchy : la complétude de ℝ, autrement
Les cinq groupes d’axiomes de Hilbert
En 1899, David Hilbert publie les Grundlagen der Geometrie et refait ce qu'Euclide avait fait deux mille deux cents ans plus tôt. Le résultat est le même — la géométrie du plan et de l'espace — mais la liste des hypothèses a changé de nature : cinq postulats sont devenus vingt axiomes répartis en cinq … Lire la suite de Les cinq groupes d’axiomes de Hilbert
Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Le raisonnement par récurrence est enseigné comme une technique : on vérifie l'initialisation, on suppose l'hérédité, on conclut. Présenté ainsi, il ressemble à une astuce de rédaction, et l'élève qui demande pourquoi ça marche reçoit rarement autre chose qu'une métaphore de dominos. La réponse honnête est plus courte et plus troublante : ça marche parce … Lire la suite de Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Quatre des cinq raisonnements qui suivent sont fautifs. Aucun ne l'est par erreur de calcul : dans chacun, les hypothèses sont vraies et la conclusion est parfois vraie aussi. Ce qui pèche, c'est le passage de l'une à l'autre — l'usage d'une règle de déduction qui n'existe pas, ou d'une règle qui existe mais dont … Lire la suite de Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Ce qui manque à la première proposition d’Euclide
La toute première proposition des Éléments d'Euclide est aussi la plus rassurante : construire un triangle équilatéral sur un segment donné. Deux cercles, un compas, trois lignes de texte. C'est le premier théorème que l'humanité ait rédigé selon la méthode déductive, et il est faux — non pas dans sa conclusion, qui est vraie, mais … Lire la suite de Ce qui manque à la première proposition d’Euclide
Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Le mot le plus employé dans une copie de mathématiques est probablement « donc ». C'est aussi celui qu'on n'explique jamais. On corrige les calculs, on sanctionne les erreurs de signe, mais on laisse dans l'ombre la question centrale : à quelle condition a-t-on le droit d'écrire « donc » ? La logique du premier ordre répond avec une … Lire la suite de Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
