Exercice sur le rang d’une partie d’un espace vectoriel

Dans le sillage de l’exercice de la semaine dernière sur le rang d’une application linéaire, nous nous intéressons aujourd’hui au rang d’une partie d’un espace vectoriel. Rappelons qu’une partie d’un espace vectoriel est dite de rang fini, si sous-espace vectoriel qu’elle engendre est de dimension finie. Le cas échéant, la dimension de ce sous-espace engendré est appelée rang de la partie.

Précisément, étant donné un espace vectoriel $E$ sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ , une partie $S$ de $E$ est dite de rang fini, si le sous-espace vectoriel $[S]$ engendré par $S$ est de dimension finie. Le cas échéant, la dimension de $[S]$ est appelée rang de $S$ et notée $\mathrm{rang}(S)$ .

Le rang d’une famille $(x_{j})_{j\in J}$ de vecteurs de $E$ est le rang de la partie $\bigl\{x_{j}\ :\ \,j\in J\bigr\}$ .

Étant donné un corps commutatif $\mathbb{K}$ et un ensemble $J$ , l’ensemble $\mathbb{K}^{J}$ des familles $(\alpha_{j})_{j\in J}$ d’éléments de $\mathbb{K}$ , muni de l’addition

$(\alpha_{j})_{j\in J}+(\beta_{j})_{j\in J}=(\alpha_{j}+\beta_{j})_{j\in J}$

et la multiplication par un scalaire

$\lambda\cdot(\alpha_{j})_{j\in J}=(\lambda\cdot\alpha_{j})_{j\in J}$ ,

est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel. Par exemple, pour tour entier naturel non-nul, l’espace vectoriel $\mathbb{K}^{\{1,\dots,n\}}$ n’est rien d’autre que l’espace $\mathbb{K}^{n}$ des $n$ -uplets $(x_{1},\dots,x_{n})$ .

L’ensemble des familles $(x_{j})_{j\in J}$ telles que $x_{j}=0$ , sauf pour un nombre fini d’index $j$ , désigné par $\mathbb{K}^{(J)}$ , est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^{J}$ . Il est clair que $\mathbb{K}^{(J)}=\mathbb{K}^{J}$ si, et seulement si, l’ensemble $J$ est fini. Autrement, l’inclusion $\mathbb{K}^{(J)}\subset \mathbb{K}^{J}$ est stricte.

L’espace vectoriel $\mathbb{K}^{(J)}$ est de dimension finie si, et seulement si, l’ensemble $J$ est fini. Le cas échéant, $\mathrm{dim}\,\mathbb{K}^{(J)}=\mathrm{card}(J)$ . En particulier, pour tout entier naturel non-nul $n$ , l’espace vectoriel $\mathbb{K}^{n}$ est de dimension $n$ .

Soit $S$ une partie d’un espace vectoriel $E$ . Nous rappelons que, si $S=\emptyset$ , alors le sous-espace vectoriel $[S]$ engendré par $S$ est réduit au vecteur nul de $E$ . Si en revanche $S\neq\emptyset$ , alors $[S]$ est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de $S$ .

Donc, pour $S\neq\emptyset$ , le sous-espace vectoriel $[S]$ est l’image de l’application linéaire $U$ de $\mathbb{K}^{(S)}$ dans $E$ , donnée par

$U:(\lambda_{s})_{s\in S}\mapsto\sum\limits_{s\in S}\lambda_{s}\cdot s$ .

Par conséquent, si $S$ est de rang fini, alors $\mathrm{rang}(S)=\mathrm{rang}(U)$ .

Ce résultat peut être mis à contribution dans la résolution de l’exercice suivant.

Exercice :

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif et $\alpha\in\mathbb{K}$ . Dans l’espace vectoriel $\mathbb{K}^{4}$ , nous considérons la famille $\mathcal{F}_{\alpha}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})$ , où

$\begin{array}{l}x_{1}=(1,\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3}), \\[4pt] x_{2}=(\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3},1), \\[4pt] x_{3}=(\alpha^{2},\alpha^{3},1,\alpha), \\[4pt] x_{4}=(\alpha^{3},1,\alpha,\alpha^{2}), \\[4pt] x_{5}=(1,-1,1,-1).\end{array}$

Déterminez, suivant les valeurs de $\alpha$ , le rang de la famille $\mathcal{F}_{\alpha}$ .
Explicitez la discussion lorsque :
- $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ,
- $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ,
- $\mathbb{K}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ où $p\in\{2,3,5\}$ .