Exercice sur les applications linéaires d’une somme directe d’espaces vectoriels dans un produit d’espaces vectoriels

La propriété universelle des sommes directes des espaces vectoriels et la propriété universelle des produits d’espaces vectoriels ont été présentées et démontrées dans des publications précédentes. Dans le sillage de ces dernières, nous proposons ici un exercice invitant à l’étude des applications linéaires d’une somme directe d’espaces vectoriels dans un produit d’espaces vectoriels.

L’exercice en question introduit un isomorphisme canonique, de l’espace vectoriel des applications linéaires d’une somme directe dans un produit, sur un produit d’espaces vectoriels d’applications linéaires.

Exercice :

Soient $(E_{j})_{j\in J}$ et $(F_{i})_{i\in I}$ deux familles d’espaces vectoriels sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ . Pour tout $k\in J$ , nous notons $\mathrm{In}_{k}$ l’injection canonique de $E_{k}$ dans la somme directe $E=\bigoplus\limits_{j\in J}E_{j}$ et, pour tout $\ell\in I$ , nous notons $\mathrm{Pr}_{\ell}$ le projecteur canonique du produit $F=\prod\limits_{i\in I}F_{i}$ sur $F_{\ell}$ .

Montrez que l’application $\Phi$ qui, à tout élément $U$ de $\mathcal{L}(E,F)$ associe l’élément $\bigl(\mathrm{Pr}_{\ell}\circ U\circ\mathrm{In}_{k}\bigr)_{(\ell,k)\in I\times J}$ de $\prod\limits_{(\ell,k)\in I\times J}\mathcal{L}(E_{k},E_{\ell})$ , est un isomorphisme, dit canonique, de l’espace vectoriel $\mathcal{L}(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$ sur l’espace vectoriel $\prod\limits_{(\ell,k)\in I\times J}\mathcal{L}(E_{k},E_{\ell})$ .
Cas parpiculiers.
- Soit $(E_{j})_{j\in J}$ une famille d’espaces vectoriel sur $\mathbb{K}$ , et $F$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ . Montrez que l’application $U\mapsto (U\circ\mathrm{In}_{j})_{j\in J}$ est un isomorphisme de l’espace vectoriel $\mathcal{L}\left(\bigoplus\limits_{j\in J}E_{j},F\right)$ sur l’espace vectoriel $\prod\limits_{j\in J}\mathcal{L}(E_{j},F)$ .
- Soit $J$ un ensemble vide, puis $F$ un espace vectoriel sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ , et $(e_{j})_{j\in J}$ la base canonique de $\mathbb{K}^{(J)}$ . Montrez que l’application $U\mapsto\bigl(U(e_{j})\bigr)_{j\in J}$ est un isomorphisme, dit canonique, de l’espace vectoriel $\mathcal{L}(\mathbb{K}^{(J)},F)$ sur l’espace vectoriel $F^{J}$ .