Un semi-groupe à gauche est un ensemble muni d'une loi de composition associative telle que tout élément soit simplifiable à gauche. Nous proposons ici un exercice qui invite à une étude structurelle des semi-groupes à gauche. L'exercice, divisé en deux parties, est en fait une compilation reformulée d'exercices du volume d'Algèbre des Éléments de Mathématiques … Lire la suite de Un exercice sur la structure des semi-groupes à gauche
Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
L'objectif ultime de cet article, divisé en deux sections, est de démontrer un théorème introduit en 1922 par le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski. Cet objectif sera réalisé dans la deuxième section de l'article, après que le sous-bassement algébrique de notre argumentation ait été exposé dans la première section. Le théorème d'adhérence-complémentaire de Kuratowski affirme que, partant … Lire la suite de Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
The Kuratowski Closure-Complement Problem
The main goal of this paper, divided into two sections, is to prove a theorem introduced in 1922 by the polish mathematician Kazimierz Kuratowski. This goal shall be accomplished in the second section of the paper with an argumentation, whose algebraic background has been prior exposed in the first section. The Kuratowski Closure-Complement Theorem asserts … Lire la suite de The Kuratowski Closure-Complement Problem
Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
D'après le théorème de Lagrange, si G est un groupe fini d'ordre n, alors l'ordre de tout élément de G est un diviseur de n. Est-ce qu'en général, pour tout diviseur p de n, le groupe fini G admet un élément d'ordre p ? Pour les diviseurs premiers, Augustin Louis Cauchy répondit à cette question … Lire la suite de Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
Un exercice inspiré du théorème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
En topologie générale, le problème d'adhérence-complémentaire se formule de la manière suivante : Partant d'une partie donnée A d'un espace topologique et comptant A lui-même, combien d'ensembles peuvent-ils être construits en appliquant successivement le complémentaire et l'adhérence ? Le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski a répondu à cette question dans un article publié en 1922. Il a … Lire la suite de Un exercice inspiré du théorème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
An exercise inspired by the Kuratowski’s Closure-Complement Theorem
In general topology, the Closure-Complement Problem is set as follows: From a given subset A of a topological space and counting A itself, how many sets can be constructed by applying complementation and closure successively? The polish mathematician Kazimierz Kuratowski answered this question in a paper published in 1922. He showed that at most 14 sets … Lire la suite de An exercise inspired by the Kuratowski’s Closure-Complement Theorem
The right topology, the left topology and Kolmogoroff spaces
Given an ordered set, several topologies can be defined on the underlying set by means of the ordering. In this paper, we introduce two of these topologies: the right topology and the left topology. We also give an introduction to Kolmogoroff spaces. The text is in fact an organized composition on tasks assigned in Exercise … Lire la suite de The right topology, the left topology and Kolmogoroff spaces
Caractérisation des sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Dans cet article, notre intérêt se porte sur les sous-groupes du groupe additif des nombres réels. Un sous-groupe d’un groupe est dit monogène s'il est engendré par un unique élément. Tous les sous-groupes du groupe additif des entiers relatifs sont monogènes. Les sous-groupes du groupe du groupe additif des nombres réels sont-ils également tous monogènes … Lire la suite de Caractérisation des sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Properties of the frontier operator
The framework of this publication is an exercise of the volume on General Topology by Bourbaki (cf. Exercise 5 of the section §1 in Chapter I). The paper, divided into five sections, is devoted to the frontier operator and some of its properties. The first section gives the definition of the frontier and some elementary … Lire la suite de Properties of the frontier operator
Théorie des magmas 5 : Lois non partout définies
Le présent article est le cinquième d'une série de leçons sur la théorie de magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d'associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. … Lire la suite de Théorie des magmas 5 : Lois non partout définies
Formalis Mathematica 