Quel jour sommes-nous ?

Dans le présent article nous répondons à la question posée par l’énigme suivante :

Quand après-demain sera hier, il nous faudra autant de jours pour atteindre dimanche qu’il nous en a fallu quand avant-hier était demain, pour que nous soyons aujourd’hui. Quel jour de la semaine sommes-nous ?

D’entrée de jeu, il convient de mettre sur pied un modèle mathématique prenant en compte les données de l’énigme. Dans cette optique, considérons la collection $J$ des sept jours de la semaine : lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche. Alors, une correspondance $j$ de l’ensemble $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ vers la collection $J$ est définie par

$\displaystyle j(0)=\text{lundi}, \qquad j(1)=\text{mardi}, \qquad j(2)=\text{mercredi}, \qquad j(3)=\text{jeudi}$

$\displaystyle j(4)=\text{vendredi}, \qquad j(5)=\text{samedi} \qquad\text{ et }\qquad j(6)=\text{dimanche}$ .

Dans un souci de simplification, posons $j_{n}=j(n)$ pour chaque $n\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ . Ainsi, la collection $J$ des jours de la semaine est donnée par

$\displaystyle J=\bigl\{j_{0}, j_{1}, j_{2}, j_{3}, j_{4}, j_{5}, j_{6}\bigr\}$ .

Elle est un ensemble au sens de Zermelo et Fränkel, eu égard à l’Axiome de Remplacement.

Considérons maintenant l’ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs, ainsi que l’application $r$ , définie de $\mathbb{Z}$ vers $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ , associant à chaque entier $z$ le reste $r(z)$ de la division euclidienne de $z$ par $7$ . Par exemple, $r(25)=4$ , puisque $25=7\times 3 + 4$ .

Notons également que l’ensemble $\mathbb{Z}$ , muni de l’opération d’addition $+$ , est un groupe abélien. Autrement dit, les quatre conditions suivantes sont satisfaites.

L’addition sur $\mathbb{Z}$ est associative : $(a+b)+c=a+(b+c)$ pour tout triplet $(a, b, c)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ .
L’addition sur $\mathbb{Z}$ est commutative : $a+b=b+a$ pour chaque couple $(a, b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ .
L’addition sur $\mathbb{Z}$ admet un élément neutre : $a+0=0+a=a$ pout tout $a\in\mathbb{Z}$ .
tout nombre entier relatif est inversible par l’addition : $a+(-a)=(-a)+a=0$ pour chaque $a\in\mathbb{Z}$ .

Ceci signifie grosso-modo que l’addition sur $\mathbb{Z}$ offre un cadre confortable pour le calcul. Ce confort peut être mis à contribution dans la construction d’un modèle adéquat de datation. Précisément, le groupe $(\mathbb{Z},+)$ agit sur l’ensemble $J$ des jours de la semaine par le biais de l’application suivante:

$\displaystyle \mathbb{Z}\times J\rightarrow J,\ \ (z,j_{n})\mapsto z\oplus j_{n}=j_{r(z+n)}$ ,

où $r(z+n)$ symbolise le reste de la division euclidienne de $z+n$ par $7$ . Nous avons notamment $20\oplus j_{5}=j_{r(25)}=j_{4}$ , car $25=7\times 3+4$ . Du reste, à l’évidence,

$\displaystyle 0\oplus j_{n}=j_{n}$

pour tout $n\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ . Au demeurant,

$\displaystyle a\oplus(b\oplus j_{n})=(a+b)\oplus j_{n}$

pour chaque couple $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ et tout $n\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ . (Le lecteur est invité à s’en convaincre). Ces deux identités sont les principales vertus de cette action du groupe $(\mathbb{Z},+)$ sur l’ensemble des jours de la semaine. Elles permettent de faire des datations du type formulées dans les questions suivantes:

(a) Quel jour de la semaine serons-nous vingt-cinq jours après jeudi ?

(b) Quel jour de la semaine étions-nous il y a dix-huit jours si aujourd’hui est lundi ?

Pour répondre à la question (a) par exemple, il suffit de noter que jeudi est symbolisé par $j_{3}$ , puis calculer $25\oplus j_{3}$ . À cet effet, remarquons que $28=7\times 4+0$ . Donc,

$\displaystyle r(28)=0 \qquad\text{ et }\qquad 25\oplus j_{3}=j_{r(25+3)}=j_{r(28)}=j_{0}$ .

Par conséquent, vingt-cinq jours après jeudi, nous serons lundi.

La question (b) a une réponse similaire. En effet, puisque $-18=7\times (-3)+3$ , le reste de la division euclidienne de $-18$ par $7$ est $3$ . De ce fait,

$\displaystyle (-18)\oplus j_{0}=j_{r(-18+0)}=j_{r(-18)}=j_{3}$ .

Ainsi, si nous sommes lundi, alors nous étions jeudi il y a dix-huit jours.

Dans ce sillage, retournons à l’énigme initiale. Nous sommes $j_{n}$ , où avec $n$ est un nombre de l’ensemble $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ . Quand avant-hier était demain, nous étions

$\displaystyle (-1)\oplus\bigl((-2)\oplus j_{n}\bigr)=\bigl((-1)+(-2)\bigr)\oplus j_{n}=(-3)\oplus j_{n}$ ,

et il fallait $3$ jours pour que nous soyons aujourd’hui. Par ailleurs, quand après-demain sera hier, nous serons

$\displaystyle 1\oplus(2\oplus j_{n})=(1+2)\oplus j_{n}=3\oplus j_{n}$ .

S’il faut autant de jours pour atteindre dimanche qu’il en a fallu quand avant-hier était demain, pour que nous soyons aujourd’hui, alors

$\displaystyle 3\oplus(3\oplus j_{n})=j_{6}$ .

Autrement dit,

$\displaystyle j_{r(6+n)}=6\oplus j_{n}=(3+3)\oplus j_{n}=3\oplus(3\oplus j_{n})=j_{6}$ .

Donc, $r(6+n)=6$ . Cependant, le nombre $6+n$ appartient à l’ensemble

$\displaystyle E=\{6,7,8,9,10,11,12\}$ ,

car $n\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ . À l’évidence, $6$ est le seul élément de $E$ dont le reste pour la division euclidienne par $7$ est $6$ . Par conséquent, $6+n=6$ . Ceci induit $n=0$ . Le jour recherché est donc $j_{0}$ , c’est-à-dire lundi.

En effet, si nous sommes lundi, quand après-demain sera hier, nous serons jeudi et, il faudra $3$ jours pour atteindre dimanche. En outre, si nous sommes lundi, alors avant-hier était samedi, le lendemain de vendredi. Et, de vendredi à lundi, il faut également $3$ jours.

Cet article montre bien la pertinence et l’intérêt de la théorie mathématique des ensembles, des structures algébriques ou des nombres. Ces théories sont introduites dans le Volume I du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire. L’ouvrage évoque notamment la théorie des groupes et des actions de groupes, mise à contribution dans la solution à l’énigme proposée ici. Une solution analogue est concevable pour l’interrogation suivante :

Hier, jeudi était quatre jours après-demain. Quel jour de la semaine sommes-nous ?

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