Transformation optimale d’un essai

Lors d’un math de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point $E$ situé à l’extérieur du segment $[AB]$ . La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point $T$ que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment $[EM]$ perpendiculaire à la droite $(AB)$ sauf en $E$ . La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points $A$ et $B$ sur la figure ci-dessous.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point $T$ qui rend l’angle $\widehat{ATB}$ le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point $T$ sur le segment $[EM]$ pour laquelle l’angle $\widehat{ATB}$ est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note la longueur $ET$ , qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes :

$\displaystyle EM=50 \,\mathrm{m}, \qquad EA=25 \,\mathrm{m} \qquad\text{ et }\qquad AB=5,6\,\mathrm{m}$ .

Soit $\alpha$ la mesure en radian de l’angle $\widehat{ETA}$ , puis $\beta$ la mesure en radian de l’angle $\widehat{ETB}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l’angle $\widehat{ATB}$ .

1) Expression de $\tan\alpha$ et $\tan\beta$ en fonction de $x$ .

En utilisant les triangles rectangles $ETA$ et $ETB$ ainsi que les longueurs fournies, nous exprimons $\tan\alpha$ et $\tan\beta$ en fonction de $x$ . En effet,

$\displaystyle\tan\alpha=\frac{EA}{ET}=\frac{25}{x}$

$\displaystyle\tan\beta=\frac{EB}{ET}=\frac{EA+AB}{ET}=\frac{25+5,\!6}{x}=\frac{30,\!6}{x}$ .

2) La fonction $\tan$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ .

En effet, définie sur notamment l’intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ , elle est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables. Du reste,

$\displaystyle\tan^{\prime}x=\frac{\sin^{\prime}x\cos x-\sin x\cos^{\prime}x}{\sin^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\sin^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x}>0$

pour chaque $x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ . La fonction tangente est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ , car sa dérivée est strictement positive sur ledit intervalle.

3) La tangente de $\gamma$ s’exprime par $\tan\gamma=\dfrac{5,6x}{x^{2}+765}$ .

Chacun des angles $\widehat{ETA}$ et $\widehat{ETB}$ , angle d’un triangle rectangle est aigu. De ce fait, leurs mesures respecctives $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à l’intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ . En outre, le point $B$ , distinct de $E$ et de $A$ , appartient au segment $[EA]$ . De ce fait,

$\displaystyle\mathrm{Mes}\,\widehat{ETB}=\mathrm{Mes}\,\widehat{ETA}+\mathrm{Mes}\,\widehat{ATB}$ .

Autrement dit,

$\displaystyle \gamma=\beta-\alpha$ .

Par conséquent, $\gamma\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ .

Maintenant, considérons des réels $a$ et $b$ contenus dans l’intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ . Alors,

$\displaystyle \cos a\cos b\neq 0 \quad\text{ et }\quad\tan(a-b)=\frac{\sin(a-b)}{\cos(a-b)}=\frac{\sin a\cos b-\cos a\sin b}{\cos a\cos b+\sin a\sin b}$ .

Par conséquent,

$\displaystyle \tan(a-b)=\frac{\quad\dfrac{\sin a\cos b-\cos a\sin b}{\cos a\cos b}\quad}{\dfrac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}=\frac{\quad\dfrac{\sin a}{\cos a}-\dfrac{\sin b}{\cos b}\quad}{1+\dfrac{\sin a}{\cos a}\times\dfrac{\sin b}{\cos b}}$ .

Donc,

$\tan(a-b)=\dfrac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \times\tan b}$

pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ . Il en résulte que

$\displaystyle \tan\gamma=\tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1-\tan\beta\tan\alpha}=\frac{\dfrac{30,\!6}{x}-\dfrac{25}{x}}{1-\dfrac{30,\!6}{x}\times\dfrac{25}{x}}=\frac{\dfrac{5,\!6}{x}}{\dfrac{x^{2}-765}{x^{2}}}$ ,

c’est-à-dire

$\displaystyle \tan\gamma=\frac{5,\!6x}{x^{2}-765}$ .

4) L’angle $\widehat{ATB}$ est maximum lorsque sa mesure $\gamma$ est maximale. Cela correspond à un minimum sur l’intervalle $]0,50[$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=x+\dfrac{765}{x}$ .

La fonction tangente étant strictement croissante sur l’intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ , l’angle $\widehat{ATB}$ est maximum lorsque $\tan\gamma$ est maximum. Or,

$\displaystyle \tan\gamma=\frac{5,\!6x}{x^{2}-765}=\frac{5,\!6}{\dfrac{x^{2}-765}{x}}=\frac{5,\!6}{x-\dfrac{765}{x}}=\frac{5,\!6}{f(x)}$

où $f(x)=x-\dfrac{765}{x}$ et $x\in\,]0,ET[\,=\,]0,50[$ . Il s’ensuit que l’angle $\widehat{ATB}$ est maximum lorsque le réel $f(x)$ est minimal pour $x\in\,]0,50[$ .

Il suffit donc d’étudier la fonction $f$ dans l’intervalle $]0,50[$ pour déduire la valeur maximale de $\gamma$ , la mesure de l’angle $\widehat{ATB}$ .

La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0,50[$ en tant que somme d’une fonction polynôme et d’un scalaire de la fonction inverse. Du reste,

$\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac{765}{x^{2}}=\frac{x^{2}-765}{x^{2}}=\frac{\left(x-\sqrt{765}\right)\left(x+\sqrt{765}\right)}{x^{2}}$

pour chaque $x\in\,]0,50[$ . De ce fait, la dérivée de $f$ est nulle pour $x=\sqrt{765}=3\sqrt{85}$ , strictement négative sur $\left]0,3\sqrt{85}\right[$ , et strictement positive sur $\left]3\sqrt{85},50\right[$ . Par ailleurs,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty \qquad\text{ et }\qquad \lim_{x\rightarrow 50}f(x)=f(50)=65,\!3$ .

Ces informations permettent de dresser le tableau de variation suivant.

Celui-ci révèle que, dans l’intervalle $]0,50[$ , la fonction $f$ est minimale pour $x=3\sqrt{85}$ . Ce minimum correspond à la valeur maximale de $\tan\gamma$ . Autrement dit, la tangente de la mesure maximale de l’angle $\widehat{ATB}$ est

$\displaystyle\tan\gamma=\frac{5,\!6}{f\left(3\sqrt{85}\right)}=\frac{5,\!6}{6\sqrt{85}}$ .

Par conséquent, la mesure maximale de l’angle $\widehat{ATB}$ est

$\displaystyle\gamma=\arctan\left(\frac{5,\!6}{6\sqrt{85}}\right)\approx0,\!10\,\mathrm{radian}\approx 6^{\circ}$ .

Elle correspond à la valeur

$\displaystyle ET=x=3\sqrt{85}\approx 27,\!658\approx 28\,\mathrm{m}$ .

Cette contribution est largement inspirée de l’Exercice 4 de l’épreuve de mathématiques du baccalauréat général 2016, série S, enseignement obligatoire, en France métropolitaine. Elle mobilise des éléments de la théorie des angles et de leur mesure, de la trigonométrie et de la théorie des fonctions numériques d’une variable réelle.

Les angles et leur mesure sont étudiés avec soin dans le Volume I du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire. Le Volume II à paraître est quant à lui dédié aux fonctions numériques d’une variable réelle. Il y est du reste aussi question de trigonométrie et de fonctions trigonométriques.

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