Cet article est une introduction à l’algèbre des matrices carrées. Nous y rappelons que l’ensemble des matrices, à n lignes et p colonnes, à coefficients dans un corps donné, muni de l’addition et la multiplication par un scalaire, est un espace vectoriel de dimension np sur le corps des coefficients.

Dans le cas spécifique des matrices carrées, c’est-à-dire lorsque n est égal à p, la multiplication matricielle définit une loi de composition interne pour laquelle cet espace vectoriel est une algèbre sur le corps des coefficients. Par la suite, dans l’algèbre des matrices carrés à coefficients dans un corps donné, nous allons explorer successivement dix catégories de matrices :

1. matrices symétriques,
2. matrices antisymétriques,
3. matrices à coefficients constants,
4. matrices diagonales,
5. matrices inversibles,
6. matrices non-inversibles,
7. matrices triangulaires supérieures,
8. matrices qui commutent avec une matrice donnée,
9. matrices idempotentes,
10. matrices de trace nulle.

Nous allons précisément voir si chacune de ces catégories forme un sous-espace vectoriel et le cas échéant, déterminer sa dimension et une de ses bases.

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