Le présent article est le cinquième d’une série de leçons sur la théorie de magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d’associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. La troisième leçon était dédiée aux lois et magmas quotients. Les théorèmes d’isomorphisme pour les magmas étaient au cœur de la quatrième leçon. Cette cinquième leçon est consacrée aux lois non partout définies.

L’article se décline en quatre sections.

La première section montre comment, d’une loi non partout définie sur un ensemble, déduire une loi de composition partout définie sur l’ensemble des sous-ensembles. Elle révèle par ailleurs une propriété de cette loi dite associée. Cette loi associée sur l’ensemble des parties permet de prolonger toute loi non partout définie. La deuxième section présente les modalités de ce prolongement. La condition d’associativité de ces lois associées sur l’ensemble des parties, et par conséquent des prolongements des lois non partout définies, est l’objet de la troisième section. La quatrième section étudie la validité de la condition d’associativité pour la loi de composition sur des ensembles particuliers d’applications.