En topologie générale, le problème d’adhérence-complémentaire se formule de la manière suivante : Partant d’une partie donnée A d’un espace topologique et comptant A lui-même, combien d’ensembles peuvent-ils être construits en appliquant successivement le complémentaire et l’adhérence ? 

Le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski a répondu à cette question dans un article publié en 1922. Il a montré qu’au plus 14 ensembles peuvent être ainsi construits. Dans le même article, il a exhibé sur la droite réelle une partie pour laquelle cette construction livre 14 ensembles différents. 

Une preuve de ce théorème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski est la trame de fond de l’exercice que nous proposons ici :

Un fichier PDF de l’exercice