Rang d’une partie d’un espace vectoriel

26 Mai 202323 Mai 2023 / Christian Nguembou Tagne

Cette note est dédiée à la détermination du rang d’une famille de vecteurs d’un espace vectoriel sur un corps commutatif. La famille considérée ici est définie au moyen d’un paramètre. De ce fait, une discussion suivant la valeur du paramètre sera menée. Par la suite, nous allons expliciter la discussion pour des corps commutatifs donnés.

En réalité, la note est la solution d’un exercice énoncé dans un exercice précédent.

Avant la solution, nous reprenons ici l’énoncé de l’exercice à résoudre.

Exercice:

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif et $\alpha\in\mathbb{K}$ . Dans l’espace vectoriel $\mathbb{K}^{4}$ , nous considérons la famille $\mathcal{F}_{\alpha}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})$ , où

$\begin{array}{l}x_{1}=(1,\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3}), \\[4pt] x_{2}=(\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3},1), \\[4pt] x_{3}=(\alpha^{2},\alpha^{3},1,\alpha), \\[4pt] x_{4}=(\alpha^{3},1,\alpha,\alpha^{2}), \\[4pt] x_{5}=(1,-1,1,-1).\end{array}$

Déterminez, suivant les valeurs de $\alpha$ , le rang de la famille $\mathcal{F}_{\alpha}$ .
Explicitez la discussion lorsque :
- $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ,
- $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ,
- $\mathbb{K}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ où $p\in\{2,3,5\}$ .