Applications linéaires d’une somme directe d’espaces vectoriels dans un produit d’espaces vectoriels

2 Juin 20231 Juin 2023 / Christian Nguembou Tagne

Nous introduisons dans cette contribution l’isomorphisme canonique, de l’espace vectoriel des applications linéaires d’une somme directe dans un produit, sur un produit d’espaces vectoriels d’applications linéaires. Nous examinerons également quelques cas particuliers de cet isomorphisme.

Il s’agit en réalité d’une solution à un exercice proposé dans un article précédent. Dans l’argumentation, nous faisons usage de la propriété universelle de l’espace vectoriel produit et de la propriété universelle des sommes directes.

À toutes fins utiles, nous reprenons l’énoncé de l’exercice ici.

Exercice :

Soient $(E_{j})_{j\in J}$ et $(F_{i})_{i\in I}$ deux familles d’espaces vectoriels sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ . Pour tout $k\in J$ , nous notons $\mathrm{In}_{k}$ l’injection canonique de $E_{k}$ dans la somme directe $E=\bigoplus\limits_{j\in J}E_{j}$ et, pour tout $\ell\in I$ , nous notons $\mathrm{Pr}_{\ell}$ le projecteur canonique du produit $F=\prod\limits_{i\in I}F_{i}$ sur $F_{\ell}$ .

Montrez que l’application $\Phi$ qui, à tout élément $U$ de $\mathcal{L}(E,F)$ associe l’élément $\bigl(\mathrm{Pr}_{\ell}\circ U\circ\mathrm{In}_{k}\bigr)_{(\ell,k)\in I\times J}$ de $\prod\limits_{(\ell,k)in I\times J}\mathcal{L}(E_{k},E_{\ell})$ , est un isomorphisme, dit canonique, de l’espace vectoriel $\mathcal{L}(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$ sur l’espace vectoriel $\prod\limits_{(\ell,k)in I\times J}\mathcal{L}(E_{k},E_{\ell})$ .
Cas parpiculiers.
- Soit $(E_{j})_{j\in J}$ une famille d’espaces vectoriel sur $\mathbb{K}$ , et $F$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ . Montrez que l’application $U\mapsto (U\circ\mathrm{In}_{j})_{j\in J}$ est un isomorphisme de l’espace vectoriel $\mathcal{L}\left(\bigoplus\limits_{j\in J}E_{j},F\right)$ sur l’espace vectoriel $\prod\limits_{j\in J}\mathcal{L}(E_{j},F)$ .
- Soit $J$ un ensemble vide, puis $F$ un espace vectoriel sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ , et $(e_{j})_{j\in J}$ la base canonique de $\mathbb{K}^{(J)}$ . Montrez que l’application $U\mapsto\bigl(U(e_{j})\bigr)_{j\in J}$ est un isomorphisme, dit canonique, de l’espace vectoriel $\mathcal{L}(\mathbb{K}^{(J)},F)$ sur l’espace vectoriel $F^{J}$ .