Cet article est dédié à l'étude d’une famille de matrices, ayant 4 lignes et 5 colonnes, à coefficients réels, définie avec deux paramètres réels. L’article est divisé en trois sections. La première section dévoile une forme ligne-échelonnée de ces matrices, leur rang, une base de leur espace ligne, puis la dimension du noyau et une … Lire la suite de Étude d’une famille de matrices
Calcul matriciel
Une équation matricielle, transposées de matrices équivalentes et rang du produit de deux matrices
Dans cet article, nous proposons des réponses à trois questions indépendantes d’algèbre matricielle. La première question invite à la résolution d’une équation matricielle dans l’algèbre des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. La deuxième question demande de prouver que les transposées respectives de deux matrices équivalentes sont elles-mêmes équivalentes. Dans la troisième question, il s’agit … Lire la suite de Une équation matricielle, transposées de matrices équivalentes et rang du produit de deux matrices
Polynôme caractéristique et déterminant d’une matrice carrée
Cet article est dédié à l’étude du polynôme caractéristique des matrices carrées à coefficients dans un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Précisément, nous allons étudier les coefficients dudit polynôme. Nous verrons notamment que ces coefficients peuvent être exprimés au moyen d’autres polynômes d’une part, et des traces de puissances de la matrice d’autre part. … Lire la suite de Polynôme caractéristique et déterminant d’une matrice carrée
Endomorphismes nilpotents d’indice 2 en dimension finie
Un endomorphisme sur un espace vectoriel est dit nilpotent d’indice 2 s’il est non nul et si sa puissance deux est nulle. Dans cet article, nous démontrons quelques propriétés de pareils endomorphismes en dimension finie. Nous allons notamment voir que le noyau d’un endomorphisme nilpotent d’ordre 2 contient son image. Nous en déduirons les valeurs … Lire la suite de Endomorphismes nilpotents d’indice 2 en dimension finie
Étude de l’inversibilité et décomposition de Gauss-Jordan d’une matrice
Une matrice de trois lignes et quatre colonnes, à coefficients réels et comportant un paramètre est au centre de cet article. Nous allons utiliser l’application linéaire qui lui est canoniquement associée pour déterminer les conditions de son inversibilité à droite. Nous verrons ensuite qu’elle n’est pas inversible à gauche. Nous ferons également usage de l’application … Lire la suite de Étude de l’inversibilité et décomposition de Gauss-Jordan d’une matrice
Équations matricielles – Matrices nilpotentes
Cet article a pour trame de fond un exercice d’algèbre matricielle décliné en quatre questions. La première question invite à établir qu’une équation matricielle spécifique à deux inconnues n’a pas de solutions, en s’appuyant sur une propriété de la trace. La deuxième propose de résoudre une équation paramétrique dans l’algèbre des matrices carrées d’ordre 2 … Lire la suite de Équations matricielles – Matrices nilpotentes
Décomposition d’une matrice carrée
Toute matrice carrée à coefficients dans un corps peut être décomposée en somme d'une matrice triangulaire supérieure et d’une matrice triangulaire inférieure, ou en somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique. Cette note présente les fondements et les modalités de ces deux décompositions. Ces dernières expriment au fond que l’espace vectoriel des matrices carrées … Lire la suite de Décomposition d’une matrice carrée
Algèbre des matrices carrées
Cet article est une introduction à l’algèbre des matrices carrées. Nous y rappelons que l’ensemble des matrices, à n lignes et p colonnes, à coefficients dans un corps donné, muni de l’addition et la multiplication par un scalaire, est un espace vectoriel de dimension np sur le corps des coefficients. Dans le cas spécifique des … Lire la suite de Algèbre des matrices carrées
Formalis Mathematica 