Cette note est dédiée à la détermination du rang d'une famille de vecteurs d'un espace vectoriel sur un corps commutatif. La famille considérée ici est définie au moyen d'un paramètre. De ce fait, une discussion suivant la valeur du paramètre sera menée. Par la suite, nous allons expliciter la discussion pour des corps commutatifs donnés. … Lire la suite de Rang d’une partie d’un espace vectoriel
Théorème du rang
Le spectre de la composée de deux endomorphismes
Dans cette note, nous démontrons qu'en dimension finie, le spectre de la composée d'un second endomorphisme après un premier endomorphisme est égal au spectre de la composée du premier après le second. Dans notre argumentation, nous allons mettre à contribution trois résultats que nous nous donnons la peine de démontrer ici à titre pédagogique. Le … Lire la suite de Le spectre de la composée de deux endomorphismes
Étude d’une famille de matrices
Cet article est dédié à l'étude d’une famille de matrices, ayant 4 lignes et 5 colonnes, à coefficients réels, définie avec deux paramètres réels. L’article est divisé en trois sections. La première section dévoile une forme ligne-échelonnée de ces matrices, leur rang, une base de leur espace ligne, puis la dimension du noyau et une … Lire la suite de Étude d’une famille de matrices
Une équation matricielle, transposées de matrices équivalentes et rang du produit de deux matrices
Dans cet article, nous proposons des réponses à trois questions indépendantes d’algèbre matricielle. La première question invite à la résolution d’une équation matricielle dans l’algèbre des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. La deuxième question demande de prouver que les transposées respectives de deux matrices équivalentes sont elles-mêmes équivalentes. Dans la troisième question, il s’agit … Lire la suite de Une équation matricielle, transposées de matrices équivalentes et rang du produit de deux matrices
Endomorphismes nilpotents d’indice 2 en dimension finie
Un endomorphisme sur un espace vectoriel est dit nilpotent d’indice 2 s’il est non nul et si sa puissance deux est nulle. Dans cet article, nous démontrons quelques propriétés de pareils endomorphismes en dimension finie. Nous allons notamment voir que le noyau d’un endomorphisme nilpotent d’ordre 2 contient son image. Nous en déduirons les valeurs … Lire la suite de Endomorphismes nilpotents d’indice 2 en dimension finie
Étude de l’inversibilité et décomposition de Gauss-Jordan d’une matrice
Une matrice de trois lignes et quatre colonnes, à coefficients réels et comportant un paramètre est au centre de cet article. Nous allons utiliser l’application linéaire qui lui est canoniquement associée pour déterminer les conditions de son inversibilité à droite. Nous verrons ensuite qu’elle n’est pas inversible à gauche. Nous ferons également usage de l’application … Lire la suite de Étude de l’inversibilité et décomposition de Gauss-Jordan d’une matrice
Formalis Mathematica 