Logique mathématique et enquête de police

« De deux choses l’une : soit le malfaiteur est venu en voiture, soit le témoin s’est trompé. Si le malfaiteur avait un complice, alors il est venu en voiture. Le malfaiteur n’avait pas de complice et il n’avait pas de clef de l’appartement, ou le malfaiteur avait un complice et il avait la clef de l’appartement. Il est établi que le malfaiteur avait la clef de l’appartement. »

Le paragraphe précédent est la substance d’un rapport d’enquête de police. Dans cette publication, nous montrons que ce récit peut être contextualisé et traduit dans un langage formel. De cette contextualisation, nous déduisons ensuite la valeur de vérité chacune des assertions suivantes:

(a) Le malfaiteur est venu en voiture.
(b) Le témoin s’est trompé.

Soit $L$ le langage formel dont l’alphabet est donné par

$\displaystyle\mathcal{A}_{L}=\{\alpha, \beta, \varphi, \gamma, m, t, 0, 1\}$ ,

où $\alpha$ , $\beta$ , $\varphi$ et $\gamma$ sont des symboles de correspondances à une variable, puis $m$ , $t$ , $0$ et $1$ des symboles de constantes.

Par ailleurs, soit $\mathcal{C}$ la collection de toutes les personnes potentiellement impliquées dans le forfait et l’enquête. Notamment, dans cette collection $\mathcal{C}$ , le malfaiteur et le témoin sont désignés respectivement par $m$ et $t$ . En outre, soit $0$ le plus petit nombre entier naturel et $1$ son successeur.

Au demeurant, une correspondance $\alpha:\mathcal{C}\rightarrow\{0,1\}$ est définie par

$\displaystyle \alpha(x)=\left\{\begin{array}{r@{\ \text{ si }\ }l}0 & x \text{ n'est pas le malfaiteur}, \\[3pt] 0 & x \text{ est le malfaiteur, mais n'est pas venu en voiture}, \\[3pt] 1 & x \text{ est le malfaiteur, et est venu en voiture}.\end{array}\right.$

Une autre correspondance $\beta:\mathcal{C}\rightarrow\{0,1\}$ est donnée par

$\displaystyle \beta(x)=\left\{\begin{array}{r@{\ \text{ si }\ }l}0 & x \text{ n'est pas le t\'emoin}, \\[3pt] 0 & x \text{ est le t\'emoin, mais s'est tromp\'e}, \\[3pt] 1 & x \text{ est le t\'emoin, et ne s'est pas tromp\'e}.\end{array}\right.$

Dans le même esprit, deux correspondances supplémentaires $\varphi:\mathcal{C}\rightarrow\{0,1\}$ et $\gamma:\mathcal{C}\rightarrow\{0,1\}$ sont définies comme suit :

$\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{r@{\ \text{ si }\ }l}0 & x \text{ n'est pas le malfaiteur}, \\[3pt] 0 & x \text{ est le malfaiteur, mais n'avait pas de complice}, \\[3pt] 1 & x \text{ est le malfaiteur, et avait un complice ;}\end{array}\right.$

$\displaystyle \gamma(x)=\left\{\begin{array}{r@{\ \text{ si }\ }l}0 & x \text{ n'avait pas la clef de l'appartement}, \\[3pt] 1 & x \text{ avait la clef de l'appartement}.\end{array}\right.$

La collection $\mathcal{C}\cup\{0, 1\}$ , munie des correspondances $\alpha$ , $\beta$ , $\varphi$ , $\gamma$ , des constantes $m$ , $t$ , $0$ et $1$ , est donc un contexte associé au langage formel $L$ . Les quatre phrases du rapport d’enquête, reprises et baptisées ci-dessous, se traduisent dans ce langage formel contextualisé :

Soit le malfaiteur est venu en voiture, soit le témoin s’est trompé ( $\mathbf{P_{1}}$ ).
Si le malfaiteur avait un complice, alors il est venu en voiture ( $\mathbf{P_{2}}$ ).
Le malfaiteur n’avait pas de complice et il n’avait pas de clef de l’appartement, ou le malfaiteur avait un complice et il avait la clef de l’appartement ( $\mathbf{P_{3}}$ ).
Il est établi que le malfaiteur avait la clef de l’appartement ( $\mathbf{P_{4}}$ ).

En l’espèce, le rapport d’enquête, traduit dans le contexte formel présenté plus haut, révèle la véracité des quatre assertions suivantes :

$\displaystyle \mathbf{P_{1}}: \alpha(m)=1 \sqcup \beta(t)=0$

$\displaystyle \mathbf{P_{2}}: \varphi(m)=1 \Rightarrow\alpha(m)=1$ ,

puis

$\displaystyle \mathbf{P_{3}}: \Bigl(\varphi(m)=0\,\wedge\,\gamma(m)=0\Bigr)\vee\Bigl(\varphi(m)=1\,\wedge\,\gamma(m)=1\Bigr)$

$\displaystyle \mathbf{P_{4}}: \gamma(m)=1$ .

Ici, les connecteurs logiques $\sqcup$ , $\Rightarrow$ , $\wedge$ et $\vee$ désignent respectivement disjonction exclusive (« ou exclusif »), implication, conjonction et disjonction. Ainsi, $\gamma(m)\neq 0$ . La conjonction

$\Bigl(\varphi(m)=0\,\wedge\,\gamma(m)=0\Bigr)$

est donc fausse. En raison de la véracité de l’assertion $\mathbf{P_{3}}$ , ceci induit la validité de la conjonction

$\displaystyle \Bigl(\varphi(m)=1\,\wedge\,\gamma(m)=1\Bigr)$

De ce fait, l’égalité $\varphi(m)=1$ est vraie. Au compte de l’implication $\mathbf{P_{2}}$ , il en résulte la validité de l’assertion $\alpha(m)=1$ . D’où $\beta(t)\neq 0$ , car la disjonction exclusive $\mathbf{P_{1}}$ est vraie. Autrement dit,

$\displaystyle \alpha(m)=1 \qquad\text{ et }\qquad \beta(t)=1$ .

Dans le langage courant, ceci veut dire que le malfaiteur est venu en voiture et que le témoin ne s’est pas trompé. En d’autres termes, l’assertion (a) est vraie, tandis que (b) est fausse.

Ceci conclut la résolution de cet exercice, tiré du manuel Épreuves de mathématiques au Baccalauréat Scientifique, Tome 1, par Jean Nkwonkam, paru aux éditions CEPER à Yaoundé en 1981. La solution proposée ici fait un usage rigoureux de la logique mathématique, dans l’esprit du Discours formel sur les mathématiques pour le secondaire, qui, dans son Premier Volume, propose un exposé détaillé sur les langages formels, les règles de déduction et les modalités de leur usage.

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