L’ensemble des nombres réels, muni de l’addition et de la multiplication, est un corps commutatif. L’ensemble des applications d’un ensemble quelconque dans l’ensemble des réels est équipé d’une addition et d’une multiplication canoniques, déduites respectivement de celles du corps des réels. Un anneau commutatif est ainsi défini.

Cette construction permet de d’établir que les suites réelles forment un anneau commutatif. Il en est de même pour l’ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur un intervalle de la droite réelle. Fort de ces informations, nous montrons que les fonctions continues, à valeurs réelles, sur un intervalle, au même titre que les suites réelles convergentes vers zéro, constituent un anneau commutatif, en qualité de sous-anneaux d’anneaux cités en amont. 

Ainsi, pour établir les attributs d’une structure, il est parfois efficace de constater que cette dernière est une sous-structure d’une structure déjà connue. Telle est la moralité de cet article.

Article au format PDF