D’après le théorème de Lagrange, si G est un groupe fini d’ordre n, alors l’ordre de tout élément de G est un diviseur de n. Est-ce qu’en général, pour tout diviseur p de n, le groupe fini G admet un élément d’ordre p ? Pour les diviseurs premiers, Augustin Louis Cauchy répondit à cette question par l’affirmative.

Théorème de Cauchy. Soit G un groupe fini d’ordre n et p un diviseur premier de n. Alors, G admet au moins un élément d’ordre p.

Dans cette note, nous démontrons ce théorème. Précisément, nous proposons une démonstration pour le cas abélien et une autre pour le cas non-abélien.

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