Un semi-groupe à gauche est un ensemble muni d’une loi de composition associative telle que tout élément soit simplifiable à gauche.

Nous proposons ici un exercice qui invite à une étude structurelle des semi-groupes à gauche. L’exercice, divisé en deux parties, est en fait une compilation reformulée d’exercices du volume d’Algèbre des Éléments de Mathématiques de Nicolas Bourbaki.

La première partie comporte deux questions : la première attire l’attention sur des propriétés importantes de l’ensemble des puissances d’un élément dans un magma associatif, tandis que la seconde révèle deux conséquences de l’existence d’un élément simplifiable à gauche dans un magma associatif.

Certains résultats de la première section sont mis à contribution dans la seconde partie, le cœur de l’exercice, dédiée à l’étude des semi-groupes à gauche.

Un fichier PDF de l’exercice