La propriété universelle des sommes directes d’espaces vectoriels et ses corollaires

13 Sep 202113 Mai 2023 / Christian Nguembou Tagne

La présente note est dédiée à l’étude de la propriété universelle des sommes directes d’espaces vectoriels et de ses corollaires. L’approche adoptée ici est celle de Chambadal et Ovaert dans leur ouvrage Algèbre linéaire et algèbre tensorielle.

Nous rappelons qu’une structure d’espace vectoriel est définie sur le produit cartésien de toute famille d’espaces vectoriels sur un même corps. L’ensemble des éléments de cet espace produit, dont les projections canoniques sont nulles, sauf pour un nombre fini d’indices, est un sous-espace vectoriel. Ce dernier est appelé somme directe de la famille d’espaces vectoriels.

Précisément, soit $(E_{i})_{i\in I}$ une famille d’espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$ . Les éléments $(x_{i})_{i\in I}$ de l’espace vectoriel produit $\prod\limits_{i\in I}E_{i}$ , dont tous les $x_{i}$ sont nuls, sauf pour un nombre fini d’indices $i$ , est un sous-espace vectoriel de $\prod\limits_{i\in I}E_{i}$ . Il est appelé somme directe de la famille $(E_{i})_{i\in I}$ et noté $\bigoplus\limits_{i\in I}E_{i}$ .