Numération et division euclidienne

1 Nov 202213 Mai 2023 / Christian Nguembou Tagne

Lorsqu’un nombre entier naturel est écrit en base dix avec au moins deux chiffres, le nombre constitué des deux derniers chiffres de cette écriture est le reste de la division euclidienne dudit nombre par 100. Dans cet article, nous utilisons cette propriété, après l’avoir démontrée, pour déterminer le chiffre des unités et le chiffre des dizaines d’un grand nombre défini par exponentiations successives. La relation de congruence est au cœur de notre démarche. Nous mettons notamment à contribution la propriété suivante :

Étant donné un entier naturel non nul $n$ , soient $a$ et $a^{\prime}$ des entiers relatifs, puis $r$ et $r^{\prime}$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $a$ et $a^{\prime}$ par $n$ . Alors, $a\equiv a^{\prime}[\mathrm{mod}\,n]$ si, et seulement si, $r=r^{\prime}$ .

En réalité, nous utilisons un corollaire de la propriété ci-dessus. Ce corollaire se formule comme suit :

Étant donné un entier naturel $n$ non nul, soient $a$ et $r$ des entiers relatifs vérifiant $0\leq r\leq n-1$ . Alors, $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $n$ si, et seulement si, $a\equiv r[\mathrm{mod}\,n]$ .