Un semi-groupe à gauche est un ensemble muni d'une loi de composition associative telle que tout élément soit simplifiable à gauche. Nous proposons ici un exercice qui invite à une étude structurelle des semi-groupes à gauche. L'exercice, divisé en deux parties, est en fait une compilation reformulée d'exercices du volume d'Algèbre des Éléments de Mathématiques … Lire la suite de Un exercice sur la structure des semi-groupes à gauche
Algèbre
Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
L'objectif ultime de cet article, divisé en deux sections, est de démontrer un théorème introduit en 1922 par le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski. Cet objectif sera réalisé dans la deuxième section de l'article, après que le sous-bassement algébrique de notre argumentation ait été exposé dans la première section. Le théorème d'adhérence-complémentaire de Kuratowski affirme que, partant … Lire la suite de Le problème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
D'après le théorème de Lagrange, si G est un groupe fini d'ordre n, alors l'ordre de tout élément de G est un diviseur de n. Est-ce qu'en général, pour tout diviseur p de n, le groupe fini G admet un élément d'ordre p ? Pour les diviseurs premiers, Augustin Louis Cauchy répondit à cette question … Lire la suite de Le théorème de Cauchy dans la théorie des groupes
Un exercice inspiré du théorème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
En topologie générale, le problème d'adhérence-complémentaire se formule de la manière suivante : Partant d'une partie donnée A d'un espace topologique et comptant A lui-même, combien d'ensembles peuvent-ils être construits en appliquant successivement le complémentaire et l'adhérence ? Le mathématicien polonais Kazimierz Kuratowski a répondu à cette question dans un article publié en 1922. Il a … Lire la suite de Un exercice inspiré du théorème d’adhérence-complémentaire de Kuratowski
Caractérisation des sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Dans cet article, notre intérêt se porte sur les sous-groupes du groupe additif des nombres réels. Un sous-groupe d’un groupe est dit monogène s'il est engendré par un unique élément. Tous les sous-groupes du groupe additif des entiers relatifs sont monogènes. Les sous-groupes du groupe du groupe additif des nombres réels sont-ils également tous monogènes … Lire la suite de Caractérisation des sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Théorie des magmas 5 : Lois non partout définies
Le présent article est le cinquième d'une série de leçons sur la théorie de magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d'associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. … Lire la suite de Théorie des magmas 5 : Lois non partout définies
Théorie des magmas 4 : Théorèmes d’isomorphisme
Cet article est le quatrième d'une série de leçons sur la théorie des magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d’associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. La troisième leçon était … Lire la suite de Théorie des magmas 4 : Théorèmes d’isomorphisme
Théorie des magmas 3 : Lois et magmas quotients
Cet article est le troisième d'une série de leçons sur la théorie des magmas. Dans la première leçon, nous avons présenté les définitions préliminaires, puis traité des composés de séquences, des puissances n-ièmes et du théorème d’associativité. Dans la deuxième leçon, il a été question du théorème de commutativité, de ses corollaires et conséquences. La troisième leçon présente est … Lire la suite de Théorie des magmas 3 : Lois et magmas quotients
Théorie des magmas 2 : Théorème de commutativité
Cet article est le deuxième d’une série de leçons sur la théorie des magmas. À la suite de la première leçon dédiée aux définitions préliminaires, aux composés de séquences, aux puissances n-ièmes et au théorème d’associativité, cette deuxième leçon est consacrée au théorème de commutativité, à ses corollaires et conséquences. Nous y démontrons le théorème … Lire la suite de Théorie des magmas 2 : Théorème de commutativité
Théorie des magmas 1 : Composé d’une séquence d’éléments et théorème d’associativité
Cet article est le premier d’une série de leçons sur la théorie des magmas. Dans cette leçon introductive, nous présentons les premières définitions de la théorie, ainsi que des exemples de magmas. Nous étudierons également la composition des séquences d’éléments dans les magmas. Dans le cas des magmas associatifs, l’évaluation du composé d’une séquence d’éléments … Lire la suite de Théorie des magmas 1 : Composé d’une séquence d’éléments et théorème d’associativité
Formalis Mathematica 