L’ensemble des nombres réels, muni de l’addition et de la multiplication, est un corps commutatif. L’ensemble des applications d’un ensemble quelconque dans l’ensemble des réels est équipé d’une addition et d’une multiplication canoniques, déduites respectivement de celles du corps des réels. Un anneau commutatif est ainsi défini. Cette construction permet de d’établir que les suites … Lire la suite de Anneau des applications d’un ensemble non vide dans le corps des réels
Théorie des anneaux
L’anneau canonique des couples d’entiers relatifs
Le présent article est consacré à l’étude de l’anneau canonique des couples d’entiers relatifs, c’est-à-dire le produit cartésien de l’anneau des entiers relatifs par lui-même. Nous allons précisément déterminer tous les sous-anneaux et tous les idéaux de cet anneau produit. Nous allons également démonter qu’il est un anneau principal, c’est-à-dire que tous ses idéaux sont … Lire la suite de L’anneau canonique des couples d’entiers relatifs
Quelques traits des anneaux de Boole
Dans un article précédent, nous avons étudier une famille d’anneaux de Boole. Dans la présente publication, nous allons établir quelques-unes des propriétés marquantes communes à tous les anneaux de Boole. Nous y montrons notamment que tout anneau de Boole est commutatif et que l’identité est son seul élément inversible. Nous verrons également qu’une relation d’ordre … Lire la suite de Quelques traits des anneaux de Boole
Idéaux triviaux et corps commutatif
Cet article donne une caractérisation des corps dans la classe des anneaux commutatifs, au moyen des idéaux. Notoirement, les seuls idéaux d’un corps commutatif sont triviaux. Dans cette publication, nous allons montrer que tout anneau commutatif non nul, dont les seuls idéaux sont triviaux, est un corps. Cette propriété caractérise bel et bien les corps dans … Lire la suite de Idéaux triviaux et corps commutatif
Idéaux premiers
Un idéal d’un anneau est dit premier s’il est propre et si, lorsqu’il contient le produit de deux éléments de l’anneau, il contient l’un ou l’autre de ces deux éléments. Dans cette contribution, nous faisons l'inventaire des idéaux premiers de l'anneau des entiers relatifs. Nous y démontrons au demeurant qu’un anneau commutatif non nul, pour lequel … Lire la suite de Idéaux premiers
Une famille d’anneaux de Boole
Un anneau unitaire est dit de Boole lorsque chacun de ses éléments est idempotent pour la multiplication (la seconde loi), c’est-à-dire égal à son carré. Tel est le cas de l’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la différence symétrique et de l’intersection. La famille des anneaux de Boole ainsi définis est l’objet du présent … Lire la suite de Une famille d’anneaux de Boole
Formalis Mathematica 