Dans cette note, nous présentons une méthode générale de résolution des équations diophantiennes à trois inconnues. Cette méthode s’inspire de la démarche notoire applicable aux équations diophantiennes à deux inconnues.

Tout d’abord, nous rappelons qu’étant donné des entiers non nuls et , ainsi qu’un entier quelconque , l’équation admet une solution dans si et seulement si , le plus grand commun diviseur et , est un diviseur de . Le cas échéant, L’ensemble des solutions dans de l’équation en question est

,

où est une solution particulière. L’existence d’une telle solution est garantie par l’identité de Bézout. Elle s’obtient au moyen de l’algorithme d’Euclide.

Maintenant, nous considérons des entiers relatifs non nuls , et , ainsi qu’un entier quelconque . De plus, soit et . Alors, est un multiple de . Il en résulte qu’un triplet est une solution de l’équation

si et seulement s’il existe un nombre tel que

.

Par conséquent, l’équation admet une solution dans si et seulement si est un diviseur de . Le cas échéant, l’algorithme d’Euclide permet de déterminer un couple satisfaisant , ainsi qu’un couple vérifiant .

L’existence de ces couples est assurée par l’identité de Bézout. D’où

.

Le triplet est donc une solution particulière de l’équation .

À présent, soit une  solution quelconque de . Alors, il existe un nombre tel que

.

Ceci équivaut à l’existence d’entiers et tels que

.

D’où

,

puis

.

Au demeurant, des calculs simples montrent que chaque triplet de cette forme vérifie

.

Tout compte fait, l’équation admet une solution si et seulement si , avec , divise . Le cas échéant, l’ensemble des solutions dans de est

,

où les couples et sont des solutions particulières respectives des équations diophantiennes à deux inconnues et .

Pour plus d’exercices d’arithmétique, consultez l’ouvrage suivant :