Suite finie de nombres premiers

Dans cette note, nous montrons qu’il existe un unique triplet de nombres premiers, termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 10.

Soit $p$ un entier naturel. Alors,

$\displaystyle p+1\equiv\left\{\begin{array}{r@{\ \text{ si }\ }l}1[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 0[\mathrm{mod}\, 3], \\[3pt] 2[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 1[\mathrm{mod}\, 3], \\[3pt] 0[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 2[\mathrm{mod}\, 3],\end{array}\right.$

puis

$\displaystyle p+2\equiv\left\{\begin{array}{r@{\ \text{ si }\ }l}2[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 0[\mathrm{mod}\, 3], \\[3pt] 0[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 1[\mathrm{mod}\, 3], \\[3pt] 1[\mathrm{mod}\,3] & p\equiv 2[\mathrm{mod}\, 3].\end{array}\right.$

De ce fait, une seule des composantes du triplet $(p,p+1,p+2)$ est un multiple $3$ . Du reste, $10\equiv 1[\mathrm{mod}\, 3]$ et $20\equiv 2[\mathrm{mod}\, 3]$ . Donc,

$\displaystyle p+10\equiv p+1[\mathrm{mod}\, 3] \qquad\text{ et }\qquad p+20\equiv p+2[\mathrm{mod}\, 3]$ .

Par conséquent, parmi les entiers $p$ , $p+10$ et $p+20$ , un seul est multiple de $3$ .

Maintenant, soit $(a,b,c)$ un triplet de nombres premiers, tels que $a$ , $b$ et $c$ soient les termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $10$ . Alors, $b=a+10$ et $c=a+20$ . Cependant, selon le paragraphe précédent, parmi les nombres $a$ , $a+10$ et $a+20$ , un seul est multiple de $3$ . Dans la mesure où $3$ est l’unique nombre premier multiple de $3$ , et compte tenu du fait que $a+10>10$ et $a+20>20$ , il en résulte que $a=3$ . Ainsi, $b=13$ et $c=23$ . Les nombres $13$ et $23$ sont notoirement premiers. Donc, $(3,13,23)$ est l’unique triplet de nombres premiers dont les composantes sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $10$ .