Majoration du produit et de la somme d’entiers naturels

/ Christian Nguembou Tagne

Dans cette note, considérant trois nombres entiers naturels non nuls, nous prouvons que, si l’un est un majorant « strict » du produit des deux autres, alors il est aussi un majorant de leur somme.

Soient a, b et c des entiers naturels non nuls. Alors, 1\leq a et 1\leq b. Autrement dit, 1-a\leq 0  et 1-b\leq 0. Ceci induit 0\leq(1-a)(1-b). Cependant,

\displaystyle (1-a)(1-b)=1-b-a+ab.

D’où a+b\leq 1+ab. De ce fait, si ab<c, alors a+b<1+c. Ceci entraîne a+b\leq c. Ainsi, l’inégalité ab<c implique a+b\leq c.

Pour plus d’exercices d’arithmétique, consultez l’ouvrage suivant :

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