Condition d’appartenance de certaines fractions à l’ensemble des entiers

19 Oct 202213 Mai 2023 / Christian Nguembou Tagne

La présente note est dédiée à l’étude d’un aspect des fonctions rationnelles dont le numérateur est un polynôme à coefficients entiers, du premier ou du second degré, et le dénominateur un polynôme unitaire du premier degré à coefficients entiers. Précisément, nous allons mettre sur pied une méthode pour déterminer les nombres entiers dont les images par de telles fonctions sont entières. De manière formelle, nous donnons une clef permettant de répondre à la question suivante :

Étant donné des entiers relatifs $a$ , $b$ , $c$ et $d$ , pour quels nombres entiers relatifs $n$ avons-nous $\dfrac{an^{2}+bn+c}{n-d}\in\mathbb{Z}$ ?