Une topologie sur un ensemble X est un ensemble O de parties de X vérifiant les deux conditions suivantes : Toute réunion d’éléments de O appartient à O. Toute intersection finie d’éléments de O appartient à O. Toute topologie sur X est donc une partie de l’ensemble des parties de X. Combien de topologies existe-t-il … Lire la suite de Toutes les topologies sur un ensemble de deux ou trois éléments
Auteur : Christian Nguembou Tagne
Deux parties denses de la droite réelle
Notoirement, l’ensemble des nombres rationnels est une partie dense de la droite réelle. Dans cette note, nous allons découvrir deux autres parties denses de la droite réelle qui sont elles-mêmes des parties de l’ensemble des rationnels. Il s’agit de l’ensemble multiples des inverses des puissances entières de 2 d’une part, et de l’ensemble des nombres … Lire la suite de Deux parties denses de la droite réelle
L’anneau canonique des couples d’entiers relatifs
Le présent article est consacré à l’étude de l’anneau canonique des couples d’entiers relatifs, c’est-à-dire le produit cartésien de l’anneau des entiers relatifs par lui-même. Nous allons précisément déterminer tous les sous-anneaux et tous les idéaux de cet anneau produit. Nous allons également démonter qu’il est un anneau principal, c’est-à-dire que tous ses idéaux sont … Lire la suite de L’anneau canonique des couples d’entiers relatifs
Quelques traits des anneaux de Boole
Dans un article précédent, nous avons étudier une famille d’anneaux de Boole. Dans la présente publication, nous allons établir quelques-unes des propriétés marquantes communes à tous les anneaux de Boole. Nous y montrons notamment que tout anneau de Boole est commutatif et que l’identité est son seul élément inversible. Nous verrons également qu’une relation d’ordre … Lire la suite de Quelques traits des anneaux de Boole
Idéaux triviaux et corps commutatif
Cet article donne une caractérisation des corps dans la classe des anneaux commutatifs, au moyen des idéaux. Notoirement, les seuls idéaux d’un corps commutatif sont triviaux. Dans cette publication, nous allons montrer que tout anneau commutatif non nul, dont les seuls idéaux sont triviaux, est un corps. Cette propriété caractérise bel et bien les corps dans … Lire la suite de Idéaux triviaux et corps commutatif
Idéaux premiers
Un idéal d’un anneau est dit premier s’il est propre et si, lorsqu’il contient le produit de deux éléments de l’anneau, il contient l’un ou l’autre de ces deux éléments. Dans cette contribution, nous faisons l'inventaire des idéaux premiers de l'anneau des entiers relatifs. Nous y démontrons au demeurant qu’un anneau commutatif non nul, pour lequel … Lire la suite de Idéaux premiers
Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure
Dans cet article, nous nous penchons sur divers aspects topologiques de la droite réelle. Précisément, nous déterminons, pour certaines suites réelles, les valeurs d'adhérence, la limite inférieure et la limite supérieure. Par ailleurs, nous allons démontrer un résultat général exprimant la limite inférieure et la limite supérieure d'une suite réelle en fonction de l'ensemble de … Lire la suite de Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure
Équations matricielles – Matrices nilpotentes
Cet article a pour trame de fond un exercice d’algèbre matricielle décliné en quatre questions. La première question invite à établir qu’une équation matricielle spécifique à deux inconnues n’a pas de solutions, en s’appuyant sur une propriété de la trace. La deuxième propose de résoudre une équation paramétrique dans l’algèbre des matrices carrées d’ordre 2 … Lire la suite de Équations matricielles – Matrices nilpotentes
Une famille d’anneaux de Boole
Un anneau unitaire est dit de Boole lorsque chacun de ses éléments est idempotent pour la multiplication (la seconde loi), c’est-à-dire égal à son carré. Tel est le cas de l’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la différence symétrique et de l’intersection. La famille des anneaux de Boole ainsi définis est l’objet du présent … Lire la suite de Une famille d’anneaux de Boole
Décomposition d’une matrice carrée
Toute matrice carrée à coefficients dans un corps peut être décomposée en somme d'une matrice triangulaire supérieure et d’une matrice triangulaire inférieure, ou en somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique. Cette note présente les fondements et les modalités de ces deux décompositions. Ces dernières expriment au fond que l’espace vectoriel des matrices carrées … Lire la suite de Décomposition d’une matrice carrée
Formalis Mathematica 