Dans cette brève, nous démontrons que, parmi cinq entiers relatifs, on peut toujours en choisir trois dont la somme est divisible par trois.

Étant donné un ensemble contenant cinq entiers relatifs, soit l’application de vers qui, à chaque élément de , associe son reste pour la division euclidienne par .

S’il existe un entier ayant au moins trois antécédents distincts par , notamment , et . Alors, .

Si en revanche tout élément du triplet a au plus deux antécédents par , alors chaque élément de possède au moins un antécédent par . Le contraire induirait en effet l’existence d’un ayant au moins trois antécédents, en contradiction de l’hypothèse. Il existe donc trois éléments distincts , et de tels que , et . Ceci entraîne .

En tout état de cause, dans l’ensemble , il existe trois éléments dont la somme est divisible par .

Il s’agit là d’une solution alternative de l’Exercice 33 de l’ouvrage Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 1).