Somme de cubes d’entiers relatifs et divisibilité par 7

24 Mai 202323 Mai 2023 / Christian Nguembou Tagne

Le présent texte propose une démonstration de la propriété suivante : Si la somme des cubes de trois entiers naturels est divisible par 7, alors le produit de ces trois entiers est également divisible par 7. La démonstration proposée ici met à contribution la règle de contraposition. Cette dernière stipule que toute implication est logiquement équivalente à sa contraposée. À ce compte-là, pour prouver la validité d’une implication, il suffit d’établir la véracité de sa contraposée.

Concrètement, nous allons démontrer que, si le produit de trois entiers naturels n’est pas divisible par 7, alors la somme de leurs cubes n’est pas divisible par 7. Au moyen de la relation de congruence, cette contraposée s’exprime de la manière suivante :

Étant donné des entiers naturels $a$ , $b$ et $c$ , si $abc\not\equiv 0(\mathrm{mod.}\,7)$ , alors $a^{3}+b^{3}+c^{3}\not\equiv 0(\mathrm{mod.}\,7)$ .