Résolution d’une équation diophantienne à trois inconnues

/ Christian Nguembou Tagne

Dans cette brève, nous nous proposons de résoudre dans \mathbb{Z}^{3} l’équation diophantienne suivante:

\displaystyle 3x+13y+23z=0. \qquad (\mathbf{E})

À cet effet, nous considérons le résultat suivant :

Proposition 1. Pour tout couple (a,b) d’entiers relatifs, la relation 13a+23b\equiv 0\,[\mathrm{mod}\,3] est équivalente à a\equiv b\,[\mathrm{mod}\,3].

Preuve. Soit un couple (a,b)\in\mathbb{Z}^{2}. Alors, 13a+23b\equiv a-b\,[\mathrm{mod}\,3], car

\displaystyle 13\equiv 1\,[\mathrm{mod}\,3] \qquad\text{ et }\qquad 23\equiv -1\,[\mathrm{mod}\,3].

Ainsi, 13a+23b\equiv 0\,[\mathrm{mod}\,3] si et seulement si a-b\equiv 0\,[\mathrm{mod}\,3]. Ceci signifie que a\equiv b\,[\mathrm{mod}\,3]. \quad\Box

La solution de l’équation (\mathbf{E}) est donnée par la proposition suivante :

Proposition 2. Un triplet (x,y,z) d’entiers relatifs est solution de l’équation diophantienne (\mathbf{E}) si et seulement s’il existe un triplet (k,k^{\prime},r)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\{0,1,2\} vérifiant

\displaystyle (x,y,z)=(-13k-23k^{\prime}-12r,3k+r,3k^{\prime}+r).

Preuve. Soit (x,y,z) un triplet d’entiers relatifs tel que 3x+13y+23z=0. Alors, 13y+23z=-3x. Donc, 13y+23z\equiv 0\,[\mathrm{mod}\,3]. De ce fait, y\equiv z\,[\mathrm{mod}\,3], selon la Proposition 1. Maintenant, soit r le reste de la division euclidienne de z par 3. Alors, r\in\{0,1,2\}. Du reste, en raison de la congruence y\equiv z\,[\mathrm{mod}\,3], cet entier r est également le reste de la division euclidienne de y par 3. Ainsi, il existe un couple (k,k^{\prime})\in\mathbb{Z}^{2} tel que y=3k+r et z=3k^{\prime}+r. Par conséquent, 3x+13(3k+r)+23(3k^{\prime}+r)=0, c’est-à-dire

\displaystyle 3x=3(-13k-23k^{\prime})-36r=3(-13k-23k^{\prime}-12r).

Donc,

\displaystyle x=-13k-23k^{\prime}-12r, \qquad y=3k+r \qquad\text{ et }\qquad z=3k^{\prime}+r,

où k et k^{\prime} sont des entiers relatifs et r\in\{0,1,2\}. Cependant, pour chaque triplet (k,k^{\prime},r)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\{0,1,2\}, nous avons

\displaystyle 3(-13k-23k^{\prime}-12r)+13(3k+r)+23(3k^{\prime}+r)=0.

Ceci conclut la preuve de la proposition 2. \quad\Box

Pour plus d’exercices d’arithmétique, consultez l’ouvrage suivant :

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