Écriture décimale et test de divisibilité par 7

Dans cette brève, nous présentons l’arrière-plan formel d’un test de divisibilité par $7$ . Selon un article abondamment relayé ces derniers jours, ce test aurait été mis au point récemment par Chika Ofily, jeune élève nigérian de 12 ans, vivant au Royaume-Uni.

Soit $N$ un entier naturel. Alors, il existe un unique couple $(D,u)$ d’entiers naturels tels que $N=10D+u$ et $0\leq u\leq 9$ . Il suffit de réaliser la division euclidienne de $N$ par $10$ pour s’en convaincre. L’écriture décimale de $N$ le montre également. Les nombres $D$ et $u$ sont appelés respectivement nombre des dizaines et chiffre des unités de $N$ .

De toute évidence, $10\equiv 3[\mathrm{mod}\,7]$ . Ainsi, $N\equiv 3D+u[\mathrm{mod}\,7]$ . À présent, soit

$\displaystyle N^{\prime}=D+5u$ .

Alors,

$\displaystyle N=D+5u+9D-4u=N^{\prime}+9D-4u$ .

Cependant, $-4\equiv 3[\mathrm{mod}\,7]$ . Ceci induit $9D-4u\equiv 9D+3u[\mathrm{mod}\,7]$ , puis $9D-4u\equiv 3(3D+u)[\mathrm{mod}\,7]$ . Par conséquent,

$\displaystyle N\equiv N^{\prime}+3(3D+u) [\mathrm{mod}\,7]\equiv N^{\prime}+3N [\mathrm{mod}\,7]$ .

Nous avons donc

$\displaystyle N^{\prime}\equiv -2N [\mathrm{mod}\,7]. \qquad\qquad (\ast)$

Maintenant, nous supposons premièrement que $N$ est divisible par $7$ , c’est-à-dire $N\equiv 0[\mathrm{mod}\,7]$ . Alors, $N^{\prime}\equiv 0[\mathrm{mod}\,7]$ , eu égard à la relation $(\ast)$ . Ainsi, si $N$ est divisible par $7$ , alors il en est de même pour $N^{\prime}$ .

Deuxièmement, soit $N^{\prime}\equiv 0[\mathrm{mod}\,7]$ . Alors, la relation $(\ast)$ induit $2N\equiv 0[\mathrm{mod}\,7]$ . Ceci signifie que $7$ divise $2N$ . Or, les nombres premiers $2$ et $7$ sont assurément premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il en résulte que $7$ divise $N$ . Donc, $7|N^{\prime}$ entraîne $7|N$ .

Par conséquent, un entier naturel $N$ , ayant pour nombre des dizaines $D$ et pour chiffre des unités $u$ , est divisible par $7$ si, et seulement si, $N^{\prime}=D+5u$ est divisible par $7$ .

Au compte de cette équivalence, pour tester la divisibilité par $7$ d’un entier naturel, il suffit de contrôler la divisibilité par $7$ de l’entier obtenu en additionnant cinq fois son chiffre des unités à son nombre des dizaines.

Il est remarquable et exceptionnel qu’un élève de 12 ans ait eu une si profonde intuition. Il sied toutefois d’émettre un doute sur le caractère novateur de cette découverte.

En effet, en 1978, un test de divisibilité par $19$ , similaire à celui établi ici, était au centre d’un exercice du sujet de mathématiques du baccalauréat C, à la session de remplacement de l’académie de Bordeaux en France.

Ledit exercice invitait à démontrer qu’un entier naturel est divisible par $19$ si, et seulement si, l’entier, obtenu en additionnant deux fois son chiffre des unités à son nombre des dizaines, est également divisible par $19$ .

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