Et par 7 ? Pourquoi il n’y a pas de règle simple

Par trois ou par neuf, on additionne les chiffres. Par onze, on les additionne en alternant les signes. Par sept, les manuels se taisent, ou bien ils proposent une recette qui ressemble à un tour de passe-passe : retrancher deux fois le chiffre des unités au nombre formé par les autres chiffres, et recommencer jusqu’à obtenir un petit nombre. L’élève en conclut que sept est un nombre capricieux, ou que personne n’a encore trouvé la bonne règle. Les deux conclusions sont fausses. L’absence de règle simple a une cause précise, qui tient en une ligne de calcul : modulo sept, le nombre dix est aussi mal placé que possible.

Cet article est le septième de la série Écrire un nombre, tirée de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2). Il applique la proposition établie dans « Les six critères de divisibilité sont un seul critère », paru le 18 octobre, et donne la raison d’être du test présenté en 2019 dans l’article sur le test de divisibilité par 7. Les cubes modulo sept, qui servent ici une fois, sont aussi au cœur d’un article de 2023 sur les sommes de cubes.

1. Six restes, puis la même chose

L’article du 18 octobre a montré que tout critère de divisibilité par $d$ se lit sur les restes des puissances de $10$ modulo $d$ . Modulo $7$ , ces restes valent

$\displaystyle 10^{0}\equiv 1,\quad 10^{1}\equiv 3,\quad 10^{2}\equiv 2,\quad 10^{3}\equiv 6,\quad 10^{4}\equiv 4,\quad 10^{5}\equiv 5,\quad 10^{6}\equiv 1\pmod 7,$

et la suite recommence, chaque reste s’obtenant en multipliant le précédent par $3$ . En remplaçant $6$ , $4$ et $5$ par $-1$ , $-3$ et $-2$ , on obtient un critère parfaitement exact : si $x=\overline{x_{n}\cdots x_{1}x_{0}}$ , alors

$\displaystyle x\equiv x_{0}+3x_{1}+2x_{2}-x_{3}-3x_{4}-2x_{5}+x_{6}+3x_{7}+\cdots\pmod 7.$

Pour $5236$ , cela donne $6+3\times 3+2\times 2-5=14$ , et $5236=7\times 748$ . Le critère existe donc, et il est aussi rigoureux que celui de neuf. Personne ne l’enseigne pour une raison évidente : il faut retenir six coefficients, dans le bon ordre, et les appliquer en partant des unités.

2. Ce qu’on appelle une règle simple

Une règle de divisibilité est simple quand ses coefficients valent $0$ , $1$ ou $-1$ : on ignore des chiffres, on les additionne ou on les retranche. Il faut pour cela qu’une puissance de $10$ soit congrue à $0$ , à $1$ ou à $-1$ modulo $d$ . Par $3$ et par $9$ , dès la première : $10\equiv 1$ . Par $11$ , aussi : $10\equiv -1$ . Par $7$ , la liste ci-dessus répond. Aucune puissance de $10$ n’est divisible par $7$ , puisque $7$ est premier et ne divise pas $10$ . La première qui soit congrue à $\pm 1$ est $10^{3}$ , et la première qui soit congrue à $1$ est $10^{6}$ .

C’est le pire cas possible. Les restes des puissances de $10$ parcourent les six restes non nuls modulo $7$ avant de revenir à $1$ ; aucun diviseur premier $p$ ne peut faire durer le cycle plus de $p-1$ pas, et $7$ atteint ce maximum. Le tableau suivant, qui ne figure pas dans le Tome 2, donne pour quelques diviseurs le plus petit exposant $k$ tel que $10^{k}\equiv\pm 1$ , c’est-à-dire la longueur des blocs de chiffres sur lesquels une règle simple est possible.

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline d & 3 & 9 & 11 & 101 & 7 & 13 & 37 & 17 \\ \hline k & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 8 \\ \hline 10^{k}\bmod d & +1 & +1 & -1 & -1 & -1 & -1 & +1 & -1 \\ \hline \end{array}$

Sept n’est pas un cas isolé : treize partage exactement sa situation, et dix-sept est bien pire, avec des blocs de huit chiffres.

3. La vraie règle : des tranches de trois chiffres

Puisque $10^{3}=1000\equiv -1\pmod 7$ , on découpe l’écriture en tranches de trois chiffres à partir des unités, comme pour lire un grand nombre, et l’on obtient $x=B_{0}+1000\,B_{1}+1000^{2}B_{2}+\cdots$ , où $B_{0}$ , $B_{1}$ , … sont les tranches. Mieux : $1001=7\times 11\times 13$ , de sorte que $1000\equiv -1$ modulo chacun de ces trois nombres.

Proposition. Si $B_{0}$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ , … sont les tranches de trois chiffres de l’écriture décimale de $x$ , à partir des unités, alors $x\equiv B_{0}-B_{1}+B_{2}-\cdots$ modulo $7$ , modulo $11$ et modulo $13$ .

Pour $987654321$ , la somme alternée des tranches vaut $321-654+987=654$ . Une seule soustraction a ramené neuf chiffres à trois, et $654=7\times 93+3=13\times 50+4=11\times 59+5$ donne d’un coup les trois restes de $987654321$ : $3$ modulo $7$ , $4$ modulo $13$ , $5$ modulo $11$ . C’est la règle de onze, appliquée non plus aux chiffres mais aux tranches.

L’égalité $10^{3}\equiv -1\pmod 7$ est le cas $n=10$ d’un exercice du Tome 2 : si $n$ n’est pas divisible par $7$ , l’un des nombres $n^{3}-1$ et $n^{3}+1$ l’est. L’ouvrage le démontre en dressant la table des cubes modulo $7$ , qui ne prennent que les valeurs $0$ , $1$ et $6$ . Une autre raison, qui ne figure pas dans l’ouvrage, passe par le petit théorème de Fermat : on a $n^{6}\equiv 1$ , donc $7$ divise $(n^{3}-1)(n^{3}+1)$ , et, $7$ étant premier, il divise l’un des deux facteurs.

4. Quatre nombres, une seule tranche à lire

Un autre exercice de l’ouvrage donne deux chiffres $p$ et $q$ et les quatre nombres de six chiffres

$\displaystyle a=\overline{qqp\,pqp},\qquad b=\overline{qqq\,ppp},\qquad c=\overline{qpq\,qpp},\qquad d=\overline{qpq\,pqp},$

et demande lequel est divisible par $7$ quelles que soient les valeurs de $p$ et $q$ . Le corrigé du Tome 2 remplace chaque puissance de $10$ par son reste, comme à la section 1, et trouve $d\equiv 14q+7p\equiv 0$ . Les tranches donnent la réponse sans calcul de reste. Pour $d$ , la tranche de gauche est $\overline{qpq}$ et celle de droite $\overline{pqp}$ , donc

$\displaystyle d\equiv\overline{pqp}-\overline{qpq}=(101p+10q)-(101q+10p)=91(p-q)\pmod{1001}.$

Comme $91=7\times 13$ , le nombre $d$ est divisible par $7$ , et aussi par $13$ , ce que l’énoncé ne demandait pas. Le même calcul, ajouté ici, règle le sort des trois autres : on trouve $a\equiv 100(p-q)$ , $b\equiv 111(p-q)$ et $c\equiv p-q$ modulo $1001$ , et aucun des facteurs $100$ , $111$ n’est divisible par $7$ . Les nombres $a$ , $b$ et $c$ sont donc divisibles par $7$ exactement quand $p\equiv q\pmod 7$ , c’est-à-dire quand $p=q$ , ou quand les deux chiffres sont $0$ et $7$ , $1$ et $8$ , ou $2$ et $9$ .

5. D’où viennent les règles qui circulent

Les recettes que l’on trouve pour sept sont d’une autre nature. Écrivons $x=10D+u$ , où $u$ est le chiffre des unités et $D$ le nombre des dizaines. L’article de 2019 établit que $x$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $D+5u$ l’est. Le coefficient $5$ n’est pas tombé du ciel : c’est l’inverse de $10$ modulo $7$ , puisque $10\times 5=50=7\times 7+1$ . Multiplier $x$ par $5$ donne alors

$\displaystyle 5x=50D+5u\equiv D+5u\pmod 7,$

et, $5$ étant premier avec $7$ , $x$ et $5x$ sont divisibles par $7$ en même temps. La recette de l’accroche, $D-2u$ , est la même, car $-2\equiv 5\pmod 7$ . Le procédé vaut pour tout diviseur premier avec $10$ : l’inverse de $10$ vaut $2$ modulo $19$ , d’où le test « $D+2u$ » qu’un exercice d’approfondissement du Tome 2 fait démontrer, et $4$ modulo $13$ , d’où le test « $D+4u$ ».

Ces tests ne lisent pas l’écriture du nombre. Ils fabriquent un nombre plus petit, d’un chiffre de moins, et demandent de recommencer : pour un nombre de dix chiffres, il faut sept ou huit étapes. Leur longueur n’est pas un défaut d’imagination de ceux qui les ont trouvés. Elle est la traduction de la ligne de restes de la section 1.

6. La faute à la base

Tout ce qui précède tient au nombre dix, non au nombre sept. En base huit, on a $8\equiv 1\pmod 7$ , et un nombre est divisible par $7$ exactement quand la somme de ses chiffres l’est, comme neuf en base dix. En base six, $6\equiv -1\pmod 7$ , et c’est la somme alternée qui décide. Sept n’est capricieux qu’en base dix. Le prochain article de la série, qui paraît le 22 octobre, suit cette piste dans deux bases où l’ouvrage propose des exercices, cinq et treize.

L’exercice des quatre nombres et celui des cubes modulo $7$ figurent dans la section Divisibilité et congruence des exercices d’évaluation des ressources de Mathématiques en terminales scientifiques (Tome 2) ; le test par $19$ est un exercice d’approfondissement du même ouvrage. La règle des tranches, le tableau de la section 2, l’étude complète des nombres $a$ , $b$ et $c$ , l’explication des tests par l’inverse de $10$ et la seconde démonstration par le petit théorème de Fermat n’y figurent pas et sont ajoutés ici.

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Et par 7 ? Pourquoi il n’y a pas de règle simple

1. Six restes, puis la même chose

2. Ce qu’on appelle une règle simple

3. La vraie règle : des tranches de trois chiffres

4. Quatre nombres, une seule tranche à lire

5. D’où viennent les règles qui circulent

6. La faute à la base

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1. Six restes, puis la même chose

2. Ce qu’on appelle une règle simple

3. La vraie règle : des tranches de trois chiffres

4. Quatre nombres, une seule tranche à lire

5. D’où viennent les règles qui circulent

6. La faute à la base

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