Le raisonnement par récurrence est enseigné comme une technique : on vérifie l'initialisation, on suppose l'hérédité, on conclut. Présenté ainsi, il ressemble à une astuce de rédaction, et l'élève qui demande pourquoi ça marche reçoit rarement autre chose qu'une métaphore de dominos. La réponse honnête est plus courte et plus troublante : ça marche parce … Lire la suite de Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Niveau supérieur
Articles de niveau universitaire rédigés en français : algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, logique et fondements.
Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Quatre des cinq raisonnements qui suivent sont fautifs. Aucun ne l'est par erreur de calcul : dans chacun, les hypothèses sont vraies et la conclusion est parfois vraie aussi. Ce qui pèche, c'est le passage de l'une à l'autre — l'usage d'une règle de déduction qui n'existe pas, ou d'une règle qui existe mais dont … Lire la suite de Exercice : cinq raisonnements, une seule démonstration correcte
Ce qui manque à la première proposition d’Euclide
La toute première proposition des Éléments d'Euclide est aussi la plus rassurante : construire un triangle équilatéral sur un segment donné. Deux cercles, un compas, trois lignes de texte. C'est le premier théorème que l'humanité ait rédigé selon la méthode déductive, et il est faux — non pas dans sa conclusion, qui est vraie, mais … Lire la suite de Ce qui manque à la première proposition d’Euclide
Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Le mot le plus employé dans une copie de mathématiques est probablement « donc ». C'est aussi celui qu'on n'explique jamais. On corrige les calculs, on sanctionne les erreurs de signe, mais on laisse dans l'ombre la question centrale : à quelle condition a-t-on le droit d'écrire « donc » ? La logique du premier ordre répond avec une … Lire la suite de Les règles de déduction : l’anatomie du mot « donc »
Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
Une formule mathématique est une suite de signes. Elle ne devient vraie ou fausse qu'une fois placée dans un monde qui donne un sens à ces signes. Cette distinction entre ce qui relève de l'écriture et ce qui relève du sens — entre la syntaxe et la sémantique — n'est presque jamais énoncée dans l'enseignement … Lire la suite de Syntaxe et sémantique : ce qu’une formule dit, et ce qu’elle veut dire
Applications linéaires d’une somme directe d’espaces vectoriels dans un produit d’espaces vectoriels
Nous introduisons dans cette contribution l'isomorphisme canonique, de l'espace vectoriel des applications linéaires d'une somme directe dans un produit, sur un produit d'espaces vectoriels d'applications linéaires. Nous examinerons également quelques cas particuliers de cet isomorphisme. Il s'agit en réalité d'une solution à un exercice proposé dans un article précédent. Dans l'argumentation, nous faisons usage de … Lire la suite de Applications linéaires d’une somme directe d’espaces vectoriels dans un produit d’espaces vectoriels
Exercice sur les applications linéaires d’une somme directe d’espaces vectoriels dans un produit d’espaces vectoriels
La propriété universelle des sommes directes des espaces vectoriels et la propriété universelle des produits d'espaces vectoriels ont été présentées et démontrées dans des publications précédentes. Dans le sillage de ces dernières, nous proposons ici un exercice invitant à l'étude des applications linéaires d'une somme directe d'espaces vectoriels dans un produit d'espaces vectoriels. L'exercice en … Lire la suite de Exercice sur les applications linéaires d’une somme directe d’espaces vectoriels dans un produit d’espaces vectoriels
Rang d’une partie d’un espace vectoriel
Cette note est dédiée à la détermination du rang d'une famille de vecteurs d'un espace vectoriel sur un corps commutatif. La famille considérée ici est définie au moyen d'un paramètre. De ce fait, une discussion suivant la valeur du paramètre sera menée. Par la suite, nous allons expliciter la discussion pour des corps commutatifs donnés. … Lire la suite de Rang d’une partie d’un espace vectoriel
Exercice sur le rang d’une partie d’un espace vectoriel
Dans le sillage de l'exercice de la semaine dernière sur le rang d'une application linéaire, nous nous intéressons aujourd'hui au rang d'une partie d'un espace vectoriel. Rappelons qu'une partie d'un espace vectoriel est dite de rang fini, si sous-espace vectoriel qu'elle engendre est de dimension finie. Le cas échéant, la dimension de ce sous-espace engendré … Lire la suite de Exercice sur le rang d’une partie d’un espace vectoriel
Rang d’une application linéaire
Le rang d'une application linéaire peut être déterminer de diverses manières. Dans cette publication, nous montrons à travers un exemple comment le faire au moyen du théorème du rang. Il s'agit ici précisément d'une solution à un exercice proposé dans un article précédent. Cet exercice invite à déterminer le rang d'une application linéaire d'un espace … Lire la suite de Rang d’une application linéaire
