Dans cet article décliné en six sections, nous proposons six réflexions indépendantes autour de la notion d’associativité. Dans la première section, nous présentons un sous-magma associatif d’un magma quelconque. La deuxième section révèle diverses parties stables pour une loi de composition associative. La troisième section montre comment construire une nouvelle loi associative à partir d’une … Lire la suite de Six réflexions autour de la notion d’associativité
Niveau supérieur
Articles de niveau universitaire rédigés en français : algèbre, algèbre linéaire, analyse, topologie, logique et fondements.
Paires d’entiers naturels distincts et permutables pour l’exponentiation
Pour une loi de composition interne, deux éléments de l’ensemble sous-jacent sont dits permutables si le composé du premier par le second est égal au composé du second par le premier. En particulier, chaque élément est permutable avec lui-même. Une loi de composition est dite commutative si deux éléments quelconques de l’ensemble sous-jacent sont permutables. … Lire la suite de Paires d’entiers naturels distincts et permutables pour l’exponentiation
Triplets d’entiers naturels opérables pour l’exponentiation
Pour une loi de composition interne, un triplet d’éléments de l’ensemble sous-jacent est dit opérable si les deux composés suivants sont égaux : le composé de la séquence constituée du composé des deux premières composantes du triplet d’une part, et de la troisième composante d’autre part ; le composé formé de la première composante d’une … Lire la suite de Triplets d’entiers naturels opérables pour l’exponentiation
Endomorphismes nilpotents d’indice 2 en dimension finie
Un endomorphisme sur un espace vectoriel est dit nilpotent d’indice 2 s’il est non nul et si sa puissance deux est nulle. Dans cet article, nous démontrons quelques propriétés de pareils endomorphismes en dimension finie. Nous allons notamment voir que le noyau d’un endomorphisme nilpotent d’ordre 2 contient son image. Nous en déduirons les valeurs … Lire la suite de Endomorphismes nilpotents d’indice 2 en dimension finie
Étude de l’inversibilité et décomposition de Gauss-Jordan d’une matrice
Une matrice de trois lignes et quatre colonnes, à coefficients réels et comportant un paramètre est au centre de cet article. Nous allons utiliser l’application linéaire qui lui est canoniquement associée pour déterminer les conditions de son inversibilité à droite. Nous verrons ensuite qu’elle n’est pas inversible à gauche. Nous ferons également usage de l’application … Lire la suite de Étude de l’inversibilité et décomposition de Gauss-Jordan d’une matrice
Une preuve topologique de l’infinité des nombres premiers
Dans le présent article, nous introduisons une topologie sur l'ensemble des entiers relatifs. Au demeurant, après y avoir révélé quelques propriétés marquantes de cette topologie, nous mettrons cette dernière à contribution pour démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini. Cette topologie originale et cette démonstration sophistiquée sont dues au mathématicien israélien Hillel Furstenberg. Article … Lire la suite de Une preuve topologique de l’infinité des nombres premiers
Toutes les topologies sur un ensemble de deux ou trois éléments
Une topologie sur un ensemble X est un ensemble O de parties de X vérifiant les deux conditions suivantes : Toute réunion d’éléments de O appartient à O. Toute intersection finie d’éléments de O appartient à O. Toute topologie sur X est donc une partie de l’ensemble des parties de X. Combien de topologies existe-t-il … Lire la suite de Toutes les topologies sur un ensemble de deux ou trois éléments
Deux parties denses de la droite réelle
Notoirement, l’ensemble des nombres rationnels est une partie dense de la droite réelle. Dans cette note, nous allons découvrir deux autres parties denses de la droite réelle qui sont elles-mêmes des parties de l’ensemble des rationnels. Il s’agit de l’ensemble multiples des inverses des puissances entières de 2 d’une part, et de l’ensemble des nombres … Lire la suite de Deux parties denses de la droite réelle
L’anneau canonique des couples d’entiers relatifs
Le présent article est consacré à l’étude de l’anneau canonique des couples d’entiers relatifs, c’est-à-dire le produit cartésien de l’anneau des entiers relatifs par lui-même. Nous allons précisément déterminer tous les sous-anneaux et tous les idéaux de cet anneau produit. Nous allons également démonter qu’il est un anneau principal, c’est-à-dire que tous ses idéaux sont … Lire la suite de L’anneau canonique des couples d’entiers relatifs
Quelques traits des anneaux de Boole
Dans un article précédent, nous avons étudier une famille d’anneaux de Boole. Dans la présente publication, nous allons établir quelques-unes des propriétés marquantes communes à tous les anneaux de Boole. Nous y montrons notamment que tout anneau de Boole est commutatif et que l’identité est son seul élément inversible. Nous verrons également qu’une relation d’ordre … Lire la suite de Quelques traits des anneaux de Boole
