Le sigle ZF traverse tous les cours du supérieur, cité comme on cite une autorité lointaine : « on se place dans ZF », « c'est indépendant de ZF ». Rares sont les étudiants qui ont vu la liste en entier, et plus rares encore ceux à qui l'on a dit ce que chaque axiome … Lire la suite de Les axiomes de Zermelo-Fraenkel, sans mystique
Théorie des ensembles
Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
« Un ensemble est une collection d'objets satisfaisant une propriété donnée. » Cette phrase ouvre presque tous les cours, du collège à la licence, et elle a le mérite de ne heurter personne. Elle a aussi un défaut : elle ne sert dans aucune démonstration. Aucune propriété ne s'en déduit, aucun théorème ne s'y appuie. … Lire la suite de Ce qu’un ensemble n’est pas : le paradoxe de Russell
Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Le raisonnement par récurrence est enseigné comme une technique : on vérifie l'initialisation, on suppose l'hérédité, on conclut. Présenté ainsi, il ressemble à une astuce de rédaction, et l'élève qui demande pourquoi ça marche reçoit rarement autre chose qu'une métaphore de dominos. La réponse honnête est plus courte et plus troublante : ça marche parce … Lire la suite de Construire ℕ : les axiomes de Peano et l’origine de la récurrence
Le théorème de Cantor-Bernstein
Dans cet article, nous proposons une démonstration du théorème de Cantor-Bernstein. Ce dernier affirme que, s’il existe une application injective d’un ensemble E dans F, ainsi qu’une application injective de F dans E, alors il existe une application bijective de E sur F. La démonstration proposée ici a pour trame de fond un exercice que … Lire la suite de Le théorème de Cantor-Bernstein
Les centres de deux magmas connus
Un élément d’un magma est dit central s’il commute avec tout élément dudit magma. Par exemple, si un élément est neutre, alors il est forcément central. L’ensemble des éléments centraux d’un magma est appelé son centre. Fondamentalement, une relation binaire sur un ensemble E est une partie du produit cartésien de E par lui-même. Une … Lire la suite de Les centres de deux magmas connus
